IV OMM 1990

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C$. Sea $l$ cualquier recta que pase por $B$ y que corte al lado $AC$ en un punto $E$. Sean $F$ el punto medio de $EC$, $G$ el punto medio de $CB$ y $H$ el pie de la altura de $C$, respecto a $AB$, en el triángulo $ABC$. Si $I$ denota el circuncentro del triángulo $AEH$ (punto de intersección de las mediatrices de los lados), pruebe que los triángulos $IGF$ y $ABC$ son semejantes.

Si $P_1,P_2,\ldots,P_{19}$ son diecinueve puntos del plano con coordenadas enteras tales que cada tres de ellos son no colineales, demuestre que hay tres con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas enteras.

Considere las veintisiete fichas de dominó que quedan quitando la blanca-blanca. Tomando en cuenta los puntos que hay en una ficha, a cada ficha le corresponde un número racional menor o igual que uno. ¿Cuál es la suma de todos estos números?

Pruebe que $n^{n-1}-1$ es divisible entre $(n-1)^2$ para todo entero $n\geq2$

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$, y $H$ el punto de intersección del lado $AC$ y la altura por $B$. Llamemos $r,r_1,r_2$ a los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $ABC,ABH,HBC$, respectivamente. Encuentre una igualdad que relacione $r,r_1,r_2$.

Encuentre el total de caminos que hay del punto $A$ a línea $l$ en la red de la siguiente figura, si en un camino solo está permitido ir hacia la izquierda.