VIII OMM 1994

Sea $C$ una cuadrícula de $10x10$. Considere piezas de las siguientes formas:

donde en cada pieza, los cuadrados son de $1 x 1$. Demuestre que:

• 1. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (a)
• 2. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (b)
• 3. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (c)
   

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor a 180 grados) y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices $A,B,C$ y $D$. Demuestre que no importa qué cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.

Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2 a la 400 y que debe ser leído de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstas se leen en orden normal, de menor a mayor). Una vez leídas éstas, se toma el último número de las que no se han leído (en este caso 399) y entonces se leen todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes.

Considere un paralelogramo $ABCD$ (con $AB$ paralela a $CD$ y $BC$ paralela a $DA$). Sobre la prolongación del lado $AB$ encuentre un punto $E$, de manera que $BE = BC$ (y con $B$ entre $A$ y $E$). Por $E$, trace una perpendicular a la línea $AB$, ésta se encontrará en un punto $F$ con la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a la diagonal $BD$. Muestre que $AF$ divide en dos ángulos iguales al ángulo $DAB$.

Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente,
se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay
un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se
obtiene un resultado mayor o igual a 21.
 

La colección infinita de números $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, \ldots$ se ha
formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar $(1)$,
luego los siguientes dos pares $(2, 4)$, después los siguientes tres impares
$(5, 7, 9)$, luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó
y así sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a
1994.