XXIV OMM 2010

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a  $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$

 Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula $n\times 4$, cada renglón es igual a

Un cambio es tomar tres casillas

1. consecutivas en el mismo renglón y
2. con dígitos distintos escritos en ellas

y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera

0 → 1,         1 → 2,        2→0

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $C_1$ en $B$ y secante a $C_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $C_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $C_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $C_2$. Muestra que $CD,AF$ y $EH$ son concurrentes.

En cada casilla de un tablero $n\times n$hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos n focos prendidos.

Encuentra todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ que cumplan la ecuación $abc=a+b+c+1$.