Cuadrícula n por 4 (P4)

Supongamos que la suma de las cuatro columnas es la misma.

Es fácil ver todos los posibles cambios,  tenemos que cada renglón solamente puede ser:

$2010,0120,1200,0201,0012$

Tenemos que entonces cada renglón suma $3$, por lo que la suma total de las casillas es $3n$. Además sea $k$ la suma de una columna, tenemos que $3n=4k$ y como $(3,4)=1$ entonces $4|n$

Ahora nos fijamos que independientemente del cambio que se haga en un renglón, siempre afectamos las dos casillas de en medio. Por como se hacen los cambios, tenemos que hacer un cambio al renglón es lo mismo que sumarle $1$ y luego hacer módulo $3$ a las dos casillas de en medio.

Sea $r_i$ el número de cambios del renglón $i$, tenemos que la segunda casilla va a ser igual a $r_i \pmod{3}$ y la tercera casilla va a ser $r_i +1 \pmod{3}$.

Si todas las columnas son iguales tenemos que en particular, la segunda y la tercera columna son iguales. Por lo que $$r_1+r_2+\cdots+r_n \equiv r_1+r_2+\cdots+r_n+n \pmod{3}$$

Por lo tanto $n \equiv 0 \pmod 3$. Como $n$ tiene que ser múltiplo de $3$ y múltiplo de $4$ entonces tiene que ser múltiplo de $12$. Lo cual implica que $12 \leq n$ lo cual es una contradicción, y por lo tanto las columnas no pueden ser iguales. 

 Tambien se puede acabar con talacha, la cual no voy a escribir :P

Si descubres que $4|n$ puedes hacer los casos $n=4,n=8$ y acabar lo cual se logra fijandose cuanto tienen que sumar las columnas, y haciendo muchos casitos. Similar si descubres que $3|n$, y haces $n=3,n=6,n=9$.

Muchas gracias por compartirnos tu solución, no he tenido tiempo de revisar todas las demostraciones que has escrito en MaTeTaM, pero en la semana estaré revisándolas. Las voy a tomar como base para escribirlas en la sección de solución. Con tu permiso, sólo cambiaré unos errores de dedo. Por ejemplo, cambiaré cosas como renglón por columna.

Saludos