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Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2010 - 14:09.

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a

$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$ entonces

$(pqr)^3$ divide a

$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$

Por:

jesus

Sugerencia:

Usa el pequeño teorema de Fermat para demostrar que $pqr$ debe dividir a $pq +qr + rp - 1$ .
Demuestra que la única posibilidad para que esto suceda es que $(p,q,r) = (2,3,5)$ .
Prueba la conclusión, $(pqr)^3$ divide a $3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$ para los primos 2, 3 y 5.

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