
Determinar todas las parejas (a,b), donde a,b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Determinar todas las parejas (a,b), donde a,b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Primero escribamos las
Primero escribamos
100a+b=c2
201a+b=d2
las siguientes acotaciones son faciles de ver
10≤a≤99, 10≤b≤99 y 32≤c≤d≤99
restando las igualdades de un principio se tiene que:
(201a+b)−(100a+b)=d2−c2⇒101a=(d+c)(d−c)
Por otro lado 1≤d−c≤67 y 65≤d+c≤197
Como 101 es primo obtenemos las siguientes concluciones:
d+c=101
d−c=a
⇒(d+c)−(d−c)=101−a⇒2c=101−a⇒a=101−2c⇒
100a+b=100(101−2c)+b=c2⇒10100−200c+b=c2⇒
10100+b=c2+200c
Ahora sumando 10000 a ambos lados de la ultima igualdad se tiene que;
20100+b=c2+200c+10000=(c+100)2⇒20110≤(c+100)2≤20199
⇒1412≤(c+100)2≤1432 de donde c=42 ⇒(a,b)=(17,64)(solucion unica)
Cabe mencionar que muchos de
Cabe mencionar que muchos de los "menor o igual" son estrictos "menor", pero no se poner dicho simbolo en latex.
Por otro lado el problema esta mas dificil de lo que habia creido la idea de dejar (c+100)2 es ya robada del libro de 104 problemas de TN de Titu, la usan varias veces en el libro asi que pense en usarla. Espero y este correcta y solo este la solucion que doy saludos!