Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)

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Determinar todas las parejas (a,b), donde a,b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.




Imagen de Luis Brandon

Primero escribamos las

5

Primero escribamos

100a+b=c2
201a+b=d2

las siguientes acotaciones son faciles de ver

10a9910b99 y 32cd99

restando las igualdades de un principio se tiene que:

(201a+b)(100a+b)=d2c2101a=(d+c)(dc)

Por otro lado 1dc67 y 65d+c197

Como 101 es primo obtenemos las siguientes concluciones:

d+c=101
dc=a

(d+c)(dc)=101a2c=101aa=1012c
100a+b=100(1012c)+b=c210100200c+b=c2
10100+b=c2+200c

Ahora sumando 10000 a ambos lados de la ultima igualdad se tiene que;

20100+b=c2+200c+10000=(c+100)220110(c+100)220199

1412(c+100)21432 de donde c=42 (a,b)=(17,64)(solucion unica)

Imagen de Luis Brandon

Cabe mencionar que muchos de

5

Cabe mencionar que muchos de los "menor o igual" son estrictos "menor", pero no se poner dicho simbolo en latex.

Por otro lado el problema esta mas dificil de lo que habia creido la idea de dejar (c+100)2 es ya robada del libro de 104 problemas de TN de Titu, la usan varias veces en el libro asi que pense en usarla. Espero y este correcta y solo este la solucion que doy saludos!