Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)

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Sea ABC un triángulo acutángulo con ABAC, M el punto medio de BC y H el ortocentro de ABC. La circunferencia que pasa por B,H y C corta a la mediana AM en N. Muestra que ANH=90.

 

 

 




Imagen de iwakura_isa

  Trazamos la figura, como la

 

Trazamos la figura, como la de arriba, y sea G el otro punto donde AM corta a la circunferencia, D,E,F pies de altura.

Sea HCB=α,HBC=β,HBA=θ, como BEC=90 entonces α+β+θ=90. Luego es facil ver usando los triangulos rectángulos y los cíclicos que forman las alturas que: HAB=α,HAC=β,HCA=θ. De ahí tenemos que BAC=α+β

Por suma de ángulos del triangulo BHC=180αβ, y como BHCG es cíclico, tenemos que BGC=α+β.

Ahora demostremos que ABGC es paralelogramo. Para esto construimos un punto G1 tal que ABG1C es paralelogramo. Tenemos que G1 esta en la recta AM, ya que las diagonales del paralelogramo se cortan en sus puntos medios, y M es punto medio de la diagonal BC. Como en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales, tenemos que BG1C=α+β=BGC. Tanto G como G1 se encuentran sobre AM, y BG1C=BGC, por lo tanto tenemos que G=G1, por que si no fuera asi, alguno de los dos ángulos sería mayor al otro.

Como ABGC es paralelogramo, por paralelas tenemos que ACB=CBG=α+θ=90β y como HBC=β, entonces HBG=90 por lo que HG es diametro de la circunferencia, y por lo tanto HNG=90 por que tambien abre el diametro, lo cual implica que ANH=90 como queriamos demostrar.

Imagen de Jorge Andres Gonzalez Garcia

Muy buena solución

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Muy buena solución