Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)
Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2010 - 14:08.
Sea ABC un triángulo acutángulo con AB≠AC, M el punto medio de BC y H el ortocentro de ABC. La circunferencia que pasa por B,H y C corta a la mediana AM en N. Muestra que ∠ANH=90.
Enviado por iwakura_isa el 8 de Octubre de 2011 - 12:42.
Trazamos la figura, como la de arriba, y sea G el otro punto donde AM corta a la circunferencia, D,E,F pies de altura.
Sea ∠HCB=α,∠HBC=β,∠HBA=θ, como ∠BEC=90 entonces α+β+θ=90. Luego es facil ver usando los triangulos rectángulos y los cíclicos que forman las alturas que: ∠HAB=α,∠HAC=β,∠HCA=θ. De ahí tenemos que ∠BAC=α+β
Por suma de ángulos del triangulo ∠BHC=180−α−β, y como BHCG es cíclico, tenemos que ∠BGC=α+β.
Ahora demostremos que ABGC es paralelogramo. Para esto construimos un punto G1 tal que ABG1C es paralelogramo. Tenemos que G1 esta en la recta AM, ya que las diagonales del paralelogramo se cortan en sus puntos medios, y M es punto medio de la diagonal BC. Como en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales, tenemos que ∠BG1C=α+β=∠BGC. Tanto G como G1 se encuentran sobre AM, y ∠BG1C=∠BGC, por lo tanto tenemos que G=G1, por que si no fuera asi, alguno de los dos ángulos sería mayor al otro.
Como ABGC es paralelogramo, por paralelas tenemos que ∠ACB=∠CBG=α+θ=90−β y como ∠HBC=β, entonces ∠HBG=90 por lo que HG es diametro de la circunferencia, y por lo tanto ∠HNG=90 por que tambien abre el diametro, lo cual implica que ∠ANH=90 como queriamos demostrar.
Trazamos la figura, como la
Trazamos la figura, como la de arriba, y sea G el otro punto donde AM corta a la circunferencia, D,E,F pies de altura.
Sea ∠HCB=α,∠HBC=β,∠HBA=θ, como ∠BEC=90 entonces α+β+θ=90. Luego es facil ver usando los triangulos rectángulos y los cíclicos que forman las alturas que: ∠HAB=α,∠HAC=β,∠HCA=θ. De ahí tenemos que ∠BAC=α+β
Por suma de ángulos del triangulo ∠BHC=180−α−β, y como BHCG es cíclico, tenemos que ∠BGC=α+β.
Ahora demostremos que ABGC es paralelogramo. Para esto construimos un punto G1 tal que ABG1C es paralelogramo. Tenemos que G1 esta en la recta AM, ya que las diagonales del paralelogramo se cortan en sus puntos medios, y M es punto medio de la diagonal BC. Como en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales, tenemos que ∠BG1C=α+β=∠BGC. Tanto G como G1 se encuentran sobre AM, y ∠BG1C=∠BGC, por lo tanto tenemos que G=G1, por que si no fuera asi, alguno de los dos ángulos sería mayor al otro.
Como ABGC es paralelogramo, por paralelas tenemos que ∠ACB=∠CBG=α+θ=90−β y como ∠HBC=β, entonces ∠HBG=90 por lo que HG es diametro de la circunferencia, y por lo tanto ∠HNG=90 por que tambien abre el diametro, lo cual implica que ∠ANH=90 como queriamos demostrar.
Muy buena solución
Muy buena solución