Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)
Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2010 - 14:08.
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$, $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. La circunferencia que pasa por $B,H$ y $C$ corta a la mediana $AM$ en $N$. Muestra que $\angle{ANH}=90$.
Enviado por iwakura_isa el 8 de Octubre de 2011 - 12:42.
Trazamos la figura, como la de arriba, y sea $G$ el otro punto donde $AM$ corta a la circunferencia, $D,E,F$ pies de altura.
Sea $\angle{HCB}=\alpha, \angle{HBC}=\beta, \angle{HBA}=\theta$, como $\angle{BEC}=90$ entonces $\alpha+\beta+\theta=90$. Luego es facil ver usando los triangulos rectángulos y los cíclicos que forman las alturas que: $\angle{HAB}=\alpha, \angle{HAC}=\beta, \angle{HCA}=\theta$. De ahí tenemos que $\angle{BAC}=\alpha+\beta$
Por suma de ángulos del triangulo $\angle{BHC}=180-\alpha-\beta$, y como $BHCG$ es cíclico, tenemos que $\angle{BGC}=\alpha+\beta$.
Ahora demostremos que $ABGC$ es paralelogramo. Para esto construimos un punto $G_1$ tal que $ABG_1C$ es paralelogramo. Tenemos que $G_1$ esta en la recta $AM$, ya que las diagonales del paralelogramo se cortan en sus puntos medios, y $M$ es punto medio de la diagonal $BC$. Como en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales, tenemos que $\angle{BG_1C}=\alpha+\beta=\angle{BGC}$. Tanto $G$ como $G_1$ se encuentran sobre $AM$, y $\angle{BG_1C}=\angle{BGC}$, por lo tanto tenemos que $G=G_1$, por que si no fuera asi, alguno de los dos ángulos sería mayor al otro.
Como $ABGC$ es paralelogramo, por paralelas tenemos que $\angle{ACB}=\angle{CBG}=\alpha+\theta=90-\beta$ y como $\angle{HBC}=\beta$, entonces $\angle{HBG}=90$ por lo que $HG$ es diametro de la circunferencia, y por lo tanto $\angle{HNG}=90$ por que tambien abre el diametro, lo cual implica que $\angle{ANH}=90$ como queriamos demostrar.
Trazamos la figura, como la
Trazamos la figura, como la de arriba, y sea $G$ el otro punto donde $AM$ corta a la circunferencia, $D,E,F$ pies de altura.
Sea $\angle{HCB}=\alpha, \angle{HBC}=\beta, \angle{HBA}=\theta$, como $\angle{BEC}=90$ entonces $\alpha+\beta+\theta=90$. Luego es facil ver usando los triangulos rectángulos y los cíclicos que forman las alturas que: $\angle{HAB}=\alpha, \angle{HAC}=\beta, \angle{HCA}=\theta$. De ahí tenemos que $\angle{BAC}=\alpha+\beta$
Por suma de ángulos del triangulo $\angle{BHC}=180-\alpha-\beta$, y como $BHCG$ es cíclico, tenemos que $\angle{BGC}=\alpha+\beta$.
Ahora demostremos que $ABGC$ es paralelogramo. Para esto construimos un punto $G_1$ tal que $ABG_1C$ es paralelogramo. Tenemos que $G_1$ esta en la recta $AM$, ya que las diagonales del paralelogramo se cortan en sus puntos medios, y $M$ es punto medio de la diagonal $BC$. Como en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales, tenemos que $\angle{BG_1C}=\alpha+\beta=\angle{BGC}$. Tanto $G$ como $G_1$ se encuentran sobre $AM$, y $\angle{BG_1C}=\angle{BGC}$, por lo tanto tenemos que $G=G_1$, por que si no fuera asi, alguno de los dos ángulos sería mayor al otro.
Como $ABGC$ es paralelogramo, por paralelas tenemos que $\angle{ACB}=\angle{CBG}=\alpha+\theta=90-\beta$ y como $\angle{HBC}=\beta$, entonces $\angle{HBG}=90$ por lo que $HG$ es diametro de la circunferencia, y por lo tanto $\angle{HNG}=90$ por que tambien abre el diametro, lo cual implica que $\angle{ANH}=90$ como queriamos demostrar.
Muy buena solución
Muy buena solución