XII OMM 1998
P6 OMM 1998. Planos equidistantes a 5 puntos
Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?
P5 OMM 1998. Paralela si y sólo si... ¿Tales?
Sean B y C dos puntos de una circunferencia, y AB y AC las tangentes
desde un punto A. Sea Q un punto del segmento AC y P la intersección de BQ con la circunferencia. La paralela a AB por Q corta a BC en J. Demuestre que PJ es paralelo a AC si y sólo si BC2=AC⋅QC.
P4 OMM 1998. Sumas de dígitos inversos (\times un dígito)
Encuentre todos los enteros que se escriben como 1a1+2a2+…+9a9 donde a1,a2,…,a9 son dígitos distintos de cero que pueden repetir.
P3 OMM 1998. Octágono rojinegro
Cada uno de los lados y las diagonales de un octágono regular se pintan de rojo o de negro. Demuestre que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octágono y sus tres lados son del mismo color.
P2 OMM 1998. Rayos, ángulo, bisectriz, lugar geométrico...
Dos rayos l,m parten de un mismo punto formando un ángulo A, y P es un punto en l. Para cada circunferencia C, tangente a l en P, que corte a m en puntos Q y R, T es el punto donde la bisectriz del ángulo QPR corta a C. Describe la figura geométrica que forman los puntos T. Justifica tu respuesta.
P1 OMM 1998. Números suertudos
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 1900→82→68→100→1. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.