XXIII OMM 2009

En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí.

Considera un triángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es punto medio de BC.

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$\frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $\frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$

En cajas marcadas con los números  0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:

Sean ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P, y corta a la recta AC en Q. Muestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.