XXIIIOMM Problema 2

Me encantó este problema. Está muy bonito, es como una derivada en los números naturales.

La función que asigna el número de caja a un número natural, que llamaremos $\delta$, por definición satisface la regla de la cadena:

$$\delta(ab) = \delta(a)b+a\delta(b)$$

Esto convierte a $\delta$ en algo así como una derivada. Por otro lado, sabemos que para todo primo $p$ se tiene que $\delta(p) = 1$.

Un resultado inmediato sobre esta derivada es que $\delta(1)=0$, ya que, $\delta(1)=\delta(1 \cdot 1) = 1\delta(1) + 1\delta(1) = 2\delta(1)$, de donde se sigue que $\delta(1)$ debe ser cero. Esta observación, no la usaré para nada, pero creo que es útil para otras cuestiones teóricas.

No es muy dificil de ver que $\delta(p^\alpha) = np^{\alpha-1}$, para $p$ primo. Esta fórmula se parece mucho a las derividas normales. No demostraré esta fórmula pues voy a demostrar una más general.

Para buscar la fómula de $\delta(n)$ debemos descomponer $n$ en sus factores primos $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$,

Luego, usando sólo la regla de la cadena nos va ser dificil calcular la expresión de $\delta(n)$, así que, por eso voy a recurrir al truco de la derivada logarítmica (ya que estamos con la mente en el cálculo de derividas). Pero aquí no aplican eso de calcular el logarítmo y luego derivar, sin embargo ..., podemos definir la derivada logarítmica como $\varphi(n) = \delta(n)/n$ sin tener que meter el logaritmo al cuento.

Esta función $\varphi$ va de los enteros positivos a los racionales. Y la maravilla sobre $\varphi$ es que separa de forma elegante los productos:

$$\varphi(ab) = \frac{\delta(ab)}{ab} = \frac{\delta(a)b+a\delta(b)}{ab} = \frac{\delta(a)}{a} + \frac{\delta(b)}{b} = \varphi(a) + \varphi(b)$$

Ehhh, ¡como si fuera un logarítmo! Una vez observado esto,  es muy fácil calcular $\varphi(n)$.

$$\varphi(n)=\varphi(p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}) = \alpha_1\varphi(p_1) + \alpha_2\varphi(p_2) + \cdots + \alpha_k\varphi(p_k)$$

Pero $\varphi(p) = \delta(p)/p = 1/p$ cuando $p$ es primo. Por lo tanto,

$$\varphi(n) = \frac{\alpha_1}{p_1} + \frac{\alpha_2}{p_2} + \cdots + \frac{\alpha_k}{p_k}$$

Pero $\varphi(n) = \delta(n)/n$, entonces podemos calcular $\delta(n)$ como:

$$\delta(n) = p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}( \frac{\alpha_1}{p_1} + \frac{\alpha_2}{p_2} + \cdots + \frac{\alpha_k}{p_k})$$

Entonces, la pregunta del problema se traduce en encontrar, n tal que $n=\delta(n)$, es decir, $n= p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$

tal que:

$$\frac{\alpha_1}{p_1} + \frac{\alpha_2}{p_2} + \cdots + \frac{\alpha_k}{p_k} =1$$

Pero, como $p_1, p_2, \ldots, p_k$ son primos distintos, se puede demostrar que la única posibilidad para que esto ocurra es que $k=1$ y que $p_1=\alpha_1$. Para la demostración de este hecho sólo necesitamos multiplicar por $p_1\cdot p_1 \cdots p_k$ la expresión de arriba y luego observar que $p_1$ aparace como factor en todos los sumando escepto al primero, y por ende, $p_1$ debe dividir a $\alpha_1$ y de aquí es fácil concluir.

En resumen, la únicos números que terminan en su propia caja son los número $n=p^p$ con $p$ primo.

Saludos

¡Excelente discusión del problema 2! (Y muy didáctica)

Si me permites, la voy a tomar y la poner en forma de post... uno de estos días...

Las gracias te sean dadas