XXXI OMM 2017

Un conjunto de $n$ números enteros positivos distintos es $\textit{equilibrado}$, si el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un número entero, para toda $1 \leq k \leq n$. Encuentra la mayor suma que pueden tener los elementos de un conjunto equilibrado, con todos sus elementos menores o iguales que 2017.

En un tablero de ajedrez de $2017 \times 2017$, se han colocado en la primera columna 2017 caballos, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simultánea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k \leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos estén en la columna $k$, uno en cada casilla.

Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a una $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2 \times 3$.