I OMM 1987

1. Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
2. Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.

Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $$\frac{n^2 + n -1}{n^2 + 2n}$$ es una fracción irreducible (simplificada).

Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de 3804.

Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M un punto en BC; P y Q las proyecciones de M en AB y BC, respectivamente. Pruebe que, para ninguno de tales puntos M, son iguales las áreas de  BPM, MQC y AQMP (las tres al mismo tiempo).

Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.

Considere dos rectas $\ell$ y $\ell'$ y un punto fijo P que diste lo mismo de $\ell$, que de $\ell'$. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en $\ell$, B está en $\ell'$, y el ángulo APB es recto.

¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).

Consideremos dos fracciones reducidas $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con $ b, d>0$ . Si la suma de estas dos fracciones es un número entero entonces $b=d$.