II OMM 1988

Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
 

Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
 

Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.

Si $a$ y $b$ son dos enteros positivos primos relativos y $ n $ es un entero, pruebe que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$

¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8$ no necesariamente distintos, tales que $1\leq{a_1}\leq\ldots\leq{a_8}\leq8$?
 

Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
 

Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
 

¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas?