P5. OMM 1988. Manipulación algebraica con el MCD

Declaremos primero a "d" como el maximo comun divisor de a²+b²-nab y a+b.

Entonces, digamos que d es distinto de 1 (ya que si d=1, es trivial, puesto que 1 siempre dividirá a n+2).

Tenemos que a+b=0 mod d, entonces (a+b)²=a²+2ab+b²=0mod d.

Tambien sabemos que a²+b²-nab=0mod d

Entonces, a²+b²+2ab=a²+b²-nab mod d

de ahi que 2ab= -nab mod d, entonces, ab(n+2) = 0 mod d.

Demostremos ahora que ab no es =0 mod d:

Supongamos que d|a o que d|b, pero no a los dos (puesto que a y b son primos relativos y d es distinto de 1). Sin pérdida de generalidad digamos que d|a:

entonces a=0 mod d

a+b=b mod d.

Pero sabemos por el enunciado del problema que a+b =0 mod d, y como d no divide a b, entonces decir que a+b=b mod d es falso, entonces nuestra suposición inicial también es falsa.

Entonces, teníamos que ab(n+2) = 0 mod d, como ab no es = 0 mod d, podemos afirmar que n+2 ­­­= 0 mod d, entonces, d|n+2. ■

Saludos.

Daniel Martinez. Chihuahua.

Teniendo

$ab(n+2) \equiv 0 \pmod{d}$

con 

$a \not\equiv 0 \pmod{d}$

$b \not\equiv 0 \pmod{d}$

no veo porqué eso implica que

$n + 2 \equiv 0 \pmod{d}$

pues podría pasar que $a$ ó $b$ y $n+2$ tengan factores de $d$ sin que $n+2$ tenga todos ellos. Por ejemplo, 

$3 \cdot 5 \cdot 7 \equiv 0 \pmod{21}$

donde vemos que 21 no divide ni a 3 ni a 5, pero tampoco a 7, y aun así ese enunciado es verdadero.

saludoz

Al rescate de Daniel =P

Con el mismo procedimiento y notación de daniel llegamos a que

$d|ab(n+2)$

Queremos demostrar que $mcd(ab,d)=1$

Sea $mcd(ab,d)=e$

Tenemos que $e|ab$ y que $e|d$, entonces $e|a+b$

$e|a^2+b^2+2ab$

$e|a^2 + b^2$

por otro lado tenemos que $a \equiv -b  \pmod{e}$, entonces $a^2 \equiv b^2  \pmod{e}$, lo cual implica que $e|a^2-b^2$

Entonces tenemos que $e|2a^2$ y $e|2b^2$

Supongamos que e es de la forma $e=2^kb$ con $k>=1$ y b impar, pero como $e|a+b$, entonces $a+b$ es par, de aqui tenemos dos casos: si $a$ y $b$ son pares entonces contradecimos el hecho de que son primos relativos. Si $a$ y $b$ son impares entonces $ab$ es impar, pero entonces contradecimos el hecho de que $e|ab$ (un par no divide impares =P)

De esto concluimos que $mcd(e,2)=1$ y entonces $e|a^2$ y $e|b^2$.

Dado a que $mcd(a,b) = 1$, tenemos que $mcd(a^2,b^2)=1$, y entonces $e=1$ y $mcd(d,ab)=1$ que era lo que queriamos demostrar.

Tenia un error y ya lo corregi =P

 Muy bien, parece que la solución está completa. Bien hecho, Daniel e Isaí. Como pequeña moraleja:

Teorema.

Si $a, b, c$ son enteros tales que $(a,b) = 1$ y además

$a | bc$

entonces

$a | c$.

Saludoz.