
Los números reales a,b,c,d,e suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener e.
Ver también:
Máximos y mínimos (sin derivadas)
Ver también:
La desigualdad de Cauchy
, por la media cuadrática
a2+b2+c2+d2=z, a+b+c+d=x
por la media cuadrática media aritmética
z≥x24
z+e2=16
x+e=8→e2+2ex+x2=64→
16−z+2ex+x2=64→
2ex=48+z−x2≥48−3z→
2ex≥3(16−z)=3e2→
2x≥3e→16≥5e→
165≥e así que el máximo valor de e es 165 y la igualdad se alcanza si y sólo si x>0 y a=b=c=d
Gracias por la colaboración
Gracias por la colaboración Fernando. Y aprovecho la oportunidad para un "comercial" de mi desigualdad favorita. Ver uno de mis posts de Cauchy.
He aquí mi solución con Cauchy (un poco en al estilo matemático oscuro):
Consideremos las 4-sucesiones 2−a,2−b,2−c,2−d y 1,1,1,1. Entonces su producto de Cauchy es e=(2−a)⋅1+(2−b)⋅1+(2−c)⋅1+(2−d)⋅1.
Por la desigualdad de Cauchy, e^2\leq{4[(2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2+(2-d)^2].
De aquí que 5e2≤16e. Es decir, e≤16/5.
Con igualdad si y sólo si las dos sucesiones son proporcionales. Es decir, si y sólo si 2−a=k⋅1,2−b=k⋅1, etc. Se sigue que el mayor valor que puede tomar e es 16/5.
Los saluda