Máximo con restricciones

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Los números reales a,b,c,d,e suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener e.




Imagen de Fernando Mtz. G.

, por la media cuadrática

4

a2+b2+c2+d2=z, a+b+c+d=x

por la media cuadrática media aritmética

zx24

z+e2=16

x+e=8e2+2ex+x2=64

16z+2ex+x2=64

2ex=48+zx2483z

2ex3(16z)=3e2

2x3e165e

165e así que el máximo valor de e es 165 y la igualdad se alcanza si y sólo si x>0a=b=c=d

Imagen de jmd

Gracias por la colaboración

Gracias por la colaboración Fernando. Y aprovecho la oportunidad para un "comercial" de mi desigualdad favorita. Ver uno de mis posts de Cauchy.

He aquí mi solución con Cauchy (un poco en al estilo matemático oscuro):

Consideremos las 4-sucesiones 2a,2b,2c,2d y 1,1,1,1. Entonces su producto de Cauchy es e=(2a)1+(2b)1+(2c)1+(2d)1.

Por la desigualdad de Cauchy, e^2\leq{4[(2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2+(2-d)^2].
De aquí que 5e216e. Es decir, e16/5.

Con igualdad si y sólo si las dos sucesiones son proporcionales. Es decir, si y sólo si 2a=k1,2b=k1, etc. Se sigue que el mayor valor que puede tomar e es 16/5.

Los saluda