Otra forma de ver Cauchy

Cauchy revisitado

Dada una sucesión de números reales $x,y,z,\ldots$, se define su medida (euclidiana) como $\sqrt{x^2+y^2+z^2+\ldots}$. Y para dos sucesiones de la misma longitud, digamos de longitud 3, $a,b,c$ y $x,y,z$, se define su producto (producto punto) como el número $ax+by+cz$.

Como se sabe, la desigualdad de Cauchy (ver mi post de Cauchy para una demostración y varias instancias de uso) nos dice que el producto (en valor absoluto) de dos sucesiones nunca es mayor que el producto de sus medidas (y la igualdad se logra si y sólo si los términos correspondientes son proporcionales). En símbolos:

$$|ax+by+cz|\leq{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$

Y la igualdad se logra si y sólo si $a=kx, y=ky, c=kz$, para algún número k.

Otra forma de ver Cauchy

Consideremos de nuevo el producto $ax+by+cz$, pero ahora de las sucesiones $\frac{a}{\sqrt{x}}, \frac{b}{\sqrt{y}},\frac{c}{\sqrt{z}}$ y $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$. Claramente el producto es ahora  $a+b+c$ y una de las sucesiones queda oculta --as sucesiones no son las obvias que se "leen" en el producto. (Un detalle que hace a la desigualdad de Cauchy extremadamente versátil en resolución de problemas de desigualdades.) 

Entonces, según Cauchy, se tendría la siguiente desigualdad (después de elevar al cuadrado en ambos lados):

$$(a+b+c)^2\leq(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(x+y+z)$$

La siguiente forma equivalente de la desigualdad anterior es muy fácil de retener en la memoria (porque nos recuerda nuestros días escolares pre-algebraicos):

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq{\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}}$$

(En la época en que uno está aprendiendo álgebra, uno pone el común denominador como la suma de los denominadores y factoriza una suma de cuadrados como el cuadrado de la suma. ¿Sí o no?)

Instancia de uso
 

Sean $a,b,c$ números reales positivos con $abc=1$. Demostrar que se cumple la siguiente desigualdad:

$$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$$

Solución

Observando que $$\frac{a^3}{a^3+2}=\frac{a^2}{a^2+2bc},$$ se puede aplicar la forma alternativa de Cauchy

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq{\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}}$$

Se obtiene (llamando E al lado izquierdo de la desigualdad que se pide demostrar):

$$E\geq\frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ca+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$$

Pan comido ¿no es cierto? (pero yo tuve la oportunidad de consultar mis notas, no así los seleccionados tamaulipecos que ni siquiera habían estudiado la desigualdad de las medias). Como ya lo habrán reconocido, este es el problema 3 del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en su versión XXII (2009). Bueno, a decir verdad, es la primera parte. La segunda parte pide demostrar una desigualdad parecida:

$$\frac{1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$$

Esta desigualdad depende de una idea feliz que es casi obvia pero que (aquí utilizaré mi frase favorita) de tan obvia es extremadamente difícil de ver.  (Anoche estuve tratando de demostrar esta desigualdad y se mostró muy negada, así que hoy en la mañana consulté de plano las soluciones que me envió Orlando desde Campeche.) 

La idea feliz consiste en "maliciar", por el parecido con la primera, que podría ser útil usar el conocimiento recién adquirido con la desigualdad de la primera parte. (¡Obvio! ¿No es cierto? ¡Pero uno es terco en tratar de demostrarla independientemente de la primera! --me imagino que es lo que le pasó a Brandon:() Y si el cognizador en el concurso logra hacer ese link (de usar la primera parte), la segunda está igual de fácil que la primera. Véase:

Si llamamos A a la expresión $ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}$  y B a $\frac{1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} $ entonces, después de observar lo obvio, se puede concluir que si multiplicamos por dos a B y la sumamos a A el resultado es ¡el número 3! (A+2B=3).

Pero entonces, $2B=3-A$ ¿Y ahora? Bueno, si se sabe tantito de desigualdades el resultado es inmediato. Porque al 3 le estamos quitando un número que es mayor o igual a 1. Entonces ¿cómo debe ser 2B? Le dejo al lector la tarea de terminar la demostración.

Comentarios finales

Queda la moraleja de que, en solución de problemas, hay que seguir la táctica de la sospecha. Es decir, el leer los signos en el enunciado bajo la hipótesis de que el creador del problema quiere que veas lo que debería ser obvio --en este caso, si las dos desigualdades son parecidas entonces eso es un signo que se debería interpretar como que es posible usar la primera para demostrar la segunda. Este problema me recordó una estrategia didáctica que recomienda un libro de jardín de niños: en una actividad que necesita medir le dejan al niño una regla en su mesa sin decirle que la puede usar... (se supone que el niño tiene que descubrirlo)

Los saluda
jmd