Problema 1 - IMO 2019 - Determinar todas las función enteras.

Observe primero que la única función de la forma $f(x) = mx+n$ que satisface la relación es cuando $m=2$ o bien $m=n=0$. Segundo, sustituyendo para $a=x$ y $b=0$, al igual que $a=0$ y $b=x$ se obtienen las siguientes identidades: $$\begin{eqnarray}\label{eqn:second} f(f(x)) &=& 2f(x) + f(0) \\ f(f(x)) &=& f(2x) + 2f(0) \end{eqnarray}$$ De dónde se sigue (al igualar ambas expresiones) que: $$f(2x) = 2f(x) - f(0)$$ Ahora bien, aplicando la igualdad anterior para el caso $x=a$ y sustituyendo en la expresión original se obtiene que: $$\begin{equation} f (f(a+b)) = 2f(a) + 2f(b) -f(0) \label{eqn:first} \end{equation}$$ Aplicamos esto nuevamente en $f(f(a)) = 2f(a) + f(0)$ y $f(f(b)) = 2f(b)+f(0)$. Finalmente, combiando estas últimas tres identidades obtenemos que: $$f(f(a+b)) = f(f(a)) + f(f(b)) - 3f(0)$$ De dónde se sigue que la función $g(x) = f(f(x)) -3f(0)$ separa sumas, es decir, $$g(a+b) = g(a) + g(b)$$ Al ser una función de los enteros en los enteros que separa suma, se puede probar de manera estándard que $g$ es lineal. Es decir, $g(x) = Kx$ para algún número entero $K$. De dónde se sigue que $f(f(x)) = Kx + 3f(0)$ Sustituyendo en la expresión $\eqref{eqn:first}$ obtenemos que: $$K(a+b) + 3f(0) = 2f(a)+2(b) -f(0)$$ De dónde se observa que $K(a+b)$ es par para todo valor de $a$ y $b$, por lo tanto $K$ debe ser par. Entonces escribimos $K = 2L$. Al sustituir y dividir entre dos se obtiene: $$L(a+b) + 2f(0)= f(a)+f(b)$$ Para todo $a$ y $b$ en $\mathbb{Z}$. En particular, para $a=x$ y $b=0$ se sigue que: $f(x) = Lx +f(0)$ En consecuencia $f(f(x)) = f(Lx+f(0)) = L(Lx +f(0)) +f(0) = L^2x + Lf(0) + f(0)$. Ahora bien, de $\eqref{eqn:second}$ se sigue que: $$L^2x + Lf(0) + f(0) = 2Lx + 3f(0)$$ Entonces $(L^2- 2L)x + (L -2)f(0) = 0$ para todo valor de $x$. Esta última ecuación se puede factorizar como $(L-2)(Lx + f(0)) = 0$ para todo valor de $x$. Lo cuál sólo será posible si $L =2$ o bien $Lx + f(0) = 0$. Es decir, si $f(x) = 2x + c$ o bien $f(x) = 0$.