La desigualdad de Cauchy

Voy a plantear aquí la idea de que el entrenamiento en solución de problemas de concurso debería estar enfocado al diseño e instalación, en la mente del aprendiz, de dispositivos cognitivos que faciliten el acceso de la estrategia adecuada para la solución de problemas específicos. 

Se trata de lograr que el aprendiz pueda instalar en su mente mecanismos de reconocimiento y asociación para que se le ocurra, dentro del tiempo disponible para un concurso, esas estrategias que después del concurso le pueden parecer tan sencillas que le resulta difícil imaginar por qué no se le ocurrieron ahí.

Claramente, el cognizador debe tener los conocimientos suficientes dentro del dominio a que pertenece el problema (álgebra, geometría, etc), lo cual es una condición necesaria para el éxito. Y, sin embargo, como lo podemos ver en el fracaso de excelentes concursantes (el conocido fenómeno olímpico denominado "el derrumbe de la cabeza"), claramente no es suficiente.

Muchos de estos dispositivos cognitivos ya están en la literatura y no es necesario diseñarlos (si acaso es necesario adaptarlos para los propósitos específicos de entrenamiento). Y, a partir de los conocidos, se pueden diseñar otros que podríamos llamarles variantes de un mismo método o estrategia. El cognizador debería poder reconocer y valorar las estrategias ya conocidas en la comunidad matemática y apropiarse de ellas, redescubrirlas. El problema es que esos métodos de solución de problemas están diluidos en el discurso matemático, y rara vez se destacan con el énfasis suficiente como para atraer la atención del estudiante.

Ahora bien, el aprendiz tiene que descubrirlos en el trabajo de solución de problemas --éste es el principio básico de aprendizaje de la enseñanza a través de los problemas. La cuestión fina, la sutileza de la enseñanza problémica es --desde la perspectiva del instructor--: ¿qué tanto decirle y cuánto dejarle oculto? Y esa cuestión sólo puede ser resuelta en la práctica y con aprendices específicos (y dentro del horizonte de conocimientos del instructor). 

Voy a poner algunos ejemplos tomados del tema de desigualdades, un tema que rara vez se aborda desde el punto de vista de solución de problemas y que, en el concurso nacional de la OMM, sólo se ha incluido dos o tres veces, a pesar de que en la IMO se incluye un problema de desigualdades casi en cada concurso. Tomemos por ejemplo la desigualdad de Cauchy:

 $$(a_1b_1+a_2b_2)^2\leq ({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)$$

La demostración más usada en los libros de texto es más o menos como sigue: considere la función cuadrática $f(t)=(a_1t-b_1)^2+(a_2t+b_2)^2$ ... El argumento continúa diciendo: puesto que $f(t)$ es no negativa, su discriminante debe ser no positivo, etc. 

Suponiendo que el aprendiz sea capaz de asimilar la idea de que una cuadrática no negativa no puede tener dos raíces reales, con esta demostración el aprendiz aprende muy poco sobre solución de problemas (en este caso sobre demostraciones). Pues la función $f(t)$ surge como el conejo del sombrero del mago.

Y bueno, algunos estudiantes podrán asombrarse de esta solución y buscar por su cuenta la motivación de considerar esa función --la cual, ciertamente, sí es una chispazo de genio generado por la mente de Schwarz (bueno, Schwarz demostró Cauchy para integrales y ahí sí que necesitaba sacar ese conejo...). 

La pregunta pertinente --respecto a esta demostración-- desde la perspectiva del problem solving es: ¿en qué otros casos puedo usar este truco? Es decir, una vez sabiendo que es producto del genio de un matemático, se puede considerar ya como un legado cultural y adoptar el truco (que es casi mágico) como un método que podría ser usado en otros problemas y otras demostraciones. Es en este sentido que hablo de un dispositivo de reconocimiento y asociación... 

La desigualdad de Cauchy tiene el sabor de problema de olimpiada: para resolver el problema $P$ es necesario resolver otro problema $Q$ (el cual, inicialmente, es indefinido y debe ser inventado) cuya solución implique, como caso particular por ejemplo, la solución de $P$. 

Todo mundo debería saber que cualquier número elevado al cuadrado es no negativo --y es cero si y sólo sí el número es cero. Y también que la suma de números no negativos es no negativa (y es cero, si y sólo si cada sumando es cero). Reconocer como verdadera la proposición $x^2 \geq 0$ es trivial. Un poco menos trivial es reconocerla en $(x-y)^2 \geq 0$. Y ya más difícil para un aprendiz es ver la equivalencia entre ésta y la desigualdad $2xy \leq x^2+y^2$. Algo más alejado de lo evidente es ver la forma de $2xy \leq x^2+y^2$ en las siguientes dos desigualdades:

$$2a_1a_2b_1b_2 \leq (a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2$$

$$2a_1a_2b_1b_2 \leq (a_1b_2)^2+(a_2b_1)^2$$

Y mucho más difícil es ver aquí el desigualdad de Cauchy-Schwarz en estado latente (por decirlo de alguna manera): porque si añadimos $(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2$ en ambos lados de la segunda desigualdad se logra ver Cauchy --después de un poco de álgebra.

¿Otro conejo sacado del sombrero? Bueno, posiblemente... pero la diferencia con la demostración de libro de texto es que ésta está basada en otro viejo truco que todo mundo debería saber: el truco de sumar y restar el mismo número... (el cual también se sabe en la forma de completar el trinomio cuadrado perfecto... un tema de las matemáticas escolares... aunque posiblemente ya no se aborde en las aulas de las escuelas secundarias...)

Un viejo truco que por esa misma razón pertenece muy probablemente a los conocimientos previos del aprendiz (por lo menos del aprendiz aspirante a convertirse en superestrella de la OMM...).

Se podría armar toda una secuencia didáctica en Problem Solving con Cauchy (si tan solo hubiese tiempo...). Por ejemplo, de aquí se puede continuar preguntando: demostrar Cauchy para tres dimensiones. Y aquí tenemos otro conejo (truco) que el alumno puede aprender sin dificultad a sacar de su sombrero. Véase:

1. Ya sabemos Cauchy para dos dimensiones:

$$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \leq (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$$

2. Queremos demostrar Cauchy para tres:

$$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$$

3. Consideremos el lado izquierdo sin cuadrado: $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

4. Aplicando Cauchy de dos dimensiones se obtiene

$$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\leq \sqrt{a_1^2+a_2^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2}+a_3b_3$$

5. Hagamos un cambio de variable temporal (solamente para facilitar el razonamiento): $x= \sqrt{a_1^2+a_2^2}$ , $y=\sqrt{b_1^2+b_2^2}$

6. Ahora tenemos $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \leq xy+a_3b_3$

7. ¿Qué ven? ¿No es cierto que ahí pueden aplicar Cauchy de dos dimensiones? Terminar la demostracion...

Ejercicio (IMO 1995): Demostrar que  $abc=1$ implica la siguiente desigualdad:

$$ \frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} +\frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}$$

Sugerencia 1: Usar Cauchy

Sugerencia 2: Primero hacer un cambio adecuado de variables (tratando de ver el lado izquierdo como suma de cuadrados)

Sugerencia 3: Al final usar la desigualdad de las medias geométrica y aritmética (de tres dimensiones)

Los saluda

jmd

PD: Ver (por ejemplo, en Google Book Search) The Cauchy-Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, By J Michael Steele PD2: Visita también el sitio de Steele