Primero ponemos el lado izquierdo a modo de aplicar la otra forma de ver Cauchy --y la aplicamos:
a2ab+ca+b2bc+ab+c2ca+bc≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)
=(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)
=(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)+1
De nuevo, por Cauchy,
2(ab+bc+ca)≤2(a2+b2+c2)
De aquí el resultado.
(Notemos que como 2(ab+bc+ca) está en el denominador, la desigualdad se voltea al sustituir. Y también que las sucesiones que se multiplican son a,b,c y b,c,a.)
Para ver la condición de igualdad, notemos que --por Cauchy-- ésta se logra si y sólo si las sucesiones a,b,c y b,c,a son proporcionales. Es decir, si y sólo si k=a/b=b/c=c/a, es decir, si y sólo si a=b=c.
Otra demostración
El lado izquierdo se lleva mediante manipulaciones algebraicas a una forma en que se pueda aplicar Cauchy:
ab+c+bc+a+ca+b
=−3+a+b+cb+c+a+b+cc+a+a+b+ca+b
−3+(a+b+c)(1b+c+1c+a+1a+b)
−3+1/2(b+c+c+a+a+b)(1b+c+1c+a+1a+b)
Aquí podemos identificar el producto de las normas al cuadrado de las sucesiones
√b+c,√c+a,√a+b
√1b+c,√1c+a,√1a+b
cuyo producto al cuadrado es 9.
Por tanto,
−3+1/2(b+c+c+a+a+b)(1b+c+1c+a+1a+b)≥−3+1/2(9)=3/2
Se deja como ejercicio al lector el demostrar que la igualdad se logra si y sólo si a=b=c.
