Primero ponemos el lado izquierdo a modo de aplicar la otra forma de ver Cauchy --y la aplicamos:
$$\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$$
$$=\frac{(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$$
$$=\frac{(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+bc+ca)}+1$$
De nuevo, por Cauchy,
$$2(ab+bc+ca)\leq2(a^2+b^2+c^2)$$
De aquí el resultado.
(Notemos que como $2(ab+bc+ca)$ está en el denominador, la desigualdad se voltea al sustituir. Y también que las sucesiones que se multiplican son $a,b,c$ y $b,c,a$.)
Para ver la condición de igualdad, notemos que --por Cauchy-- ésta se logra si y sólo si las sucesiones $a,b,c$ y $b,c,a$ son proporcionales. Es decir, si y sólo si $k=a/b=b/c=c/a$, es decir, si y sólo si $a=b=c$.
Otra demostración
El lado izquierdo se lleva mediante manipulaciones algebraicas a una forma en que se pueda aplicar Cauchy:
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$
$$=-3+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}$$
$$-3+(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$$
$$-3+1/2(b+c+c+a+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$$
Aquí podemos identificar el producto de las normas al cuadrado de las sucesiones
$$\sqrt{b+c},\sqrt{c+a},\sqrt{a+b}$$
$$\sqrt{\frac{1}{b+c}},\sqrt{\frac{1}{c+a}},\sqrt{\frac{1}{a+b}}$$
cuyo producto al cuadrado es 9.
Por tanto,
$$-3+1/2(b+c+c+a+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq-3+1/2(9)=3/2$$
Se deja como ejercicio al lector el demostrar que la igualdad se logra si y sólo si $a=b=c$.
