Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

P3 OMM 2002. Residuos cuadráticos (módulo 4)

Enviado por jmd el 24 de Julio de 2010 - 06:57.

Sean $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$?

Problema

Problema 4, IMO 2010

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2010 - 16:25.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Las rectas $AP,BP,CP$ cortan otra vez a $\Gamma$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Demostrar que si $SC=SP$ entonces $MK=ML$.

Problema

Problema 1, IMO 2010

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2010 - 13:13.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(\lfloor x \rfloor y)= f(x) \lfloor f(y) \rfloor$$ para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)

Problema

P6 OMM 2001. Cuatro axiomas para colección de monedas

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 22:08.

Un coleccionista de monedas raras tiene monedas de denominaciones $1, 2, 3, \ldots, n$ (tiene muchas monedas de cada denominación). Desea poner algunas de sus monedas en las cajas de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

Problema

P5 OMM 2001. Probar isósceles... ¿cómo se prueba isósceles?

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 22:05.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB< AC$ y el ángulo $BAC$ es el doble del ángulo $BCA$. Sobre el lado $AC$ se toma un punto $D$ tal que $CD = AB$. Por el punto $B$ se traza una recta $l$ paralela a $AC$. La bisectriz exterior del ángulo en $A$ intersecta a $l$ en el punto $M$, y la paralela a $AB$ por $C$ intersecta a $l$ en el punto $N$. Prueba que $MD = DN$.

Problema

P4 OMM 2001. Lista de residuos cuadráticos

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 22:02.

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$, se forma una lista de 2001 números como sigue:

  • el primer número es $a$;
  • a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir al cuadrado del anterior entre $n$.

A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$, alternadamente
empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman, y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$.

¿Para qué enteros $n \geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a \leq n/2$, y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

Problema

P6 OMM 2000. Configuración sobre un triángulo obtusángulo

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:27.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle{B} >90$ y en el que un punto $H$ sobre $AC$ tiene la propiedad de que $AH = BH$ y $BH$ es perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Por $H$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $DE$ en $F$. Prueba que $\angle BCF = \angle ACD$.
 

Problema

P5 OMM 2000. Operación sobre rectángulos --en tablero nxn

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:24.

Se tiene un tablero de $n\times n$, pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero:

  • Escoger un rectángulo en la cuadrícula de tal manera que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e
  • invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo.

Encuentra para qué valores de $ n $ es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario. (Nota: Las dimensiones de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando).

Problema

P4 OMM 2000. Número de primos hasta el primer compuesto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:20.

Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:

  • El primer número es 5 y,
  • a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.

(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)

¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?

Problema

P3 OMM 2000. Regla aditiva --de formación de un conjunto

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 20:07.

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, construimos el conjunto $A'$ poniendo todos los elementos de $A$ y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:

  • Se escogen algunos elementos de $A$, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo $+$ o el signo $-$;
  • luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en $A'$.

Por ejemplo, si $A = {2, 8, 13, 20}$, entonces algunos elementos de $A'$ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de $A$, y 14 = 20+2-8).

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