Problema 4, IMO 2010

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2010 - 16:25.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Las rectas $AP,BP,CP$ cortan otra vez a $\Gamma$ en los puntos $K,L,M$ , respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$ . Demostrar que si $SC=SP$ entonces $MK=ML$ .

Solución

Por:

jmd

Fecha:

18 Jul 2010

Solución:

La figura que se deriva del enunciado sería más o menos como sigue (sin el arco $\widehat{BPA}$ ).

De acuerdo a los datos se tiene que $SC=SP$ y, por potencia de $S$ , $SP^2=SC^2=SB\cdot SA$ . Se sigue que $SP$ es tangente en $P$ al circuncírculo del triángulo $ABP$ .

Queremos demostrar $\widehat{LM} =\widehat{MK}$ .

Por el teorema de las cuerdas cruzadas se tiene

$\angle KPC=\frac{\widehat{MA}+\widehat{CK}}{2}$

Por tanto, $\widehat{MA}=2\angle{KPC}-\widehat{CK}$ . De aquí que:

$\widehat{LM}=\widehat{LA}+\widehat{AM}=\widehat{LA}+2 \angle{KPC}-\widehat{CK}$

$=2 \angle{SPK}+2 \angle{KPC}-\widehat{CK}$

Porque $\widehat{LA}=2 \angle{SPK}$ , dado que los arcos $PA$ y $LA$ son interceptados por el $\angle{PBA}=\angle{LBA}$ , respectivamente.

$=2 \angle{PCS}-\widehat{CK}$

Por ser el triángulo $CPS$ isósceles.

$=\widehat{MC}-\widehat{CK}$

Pues el ángulo $MCS$ es semi-inscrito, con arco interceptado $MC$ .

$=\widehat{MK}+\widehat{CK}-\widehat{CK}=\widehat{MK}$

Como se quería.

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Mi solución: Sabemos que por

Enviado por el colado el 19 de Julio de 2010 - 02:38.

Mi solución:

Sabemos que $SC=SP$ por ser $SPC$ isósceles. Entonces $SC^2=SP^2=SB \cdot SA$ por potencia del punto $S$ . De esta forma obtenemos que $SP$ es tangente al circuncírculo de $ABP$ .

Definamos:

$\angle PAB=\alpha_1$

$\angle MCA=\theta_2$

$\angle CBL=\theta_1$

$\angle LBA=\beta_1$

$\angle KAC=\alpha_2$

Tenemos que $\angle SPB=\angle PAB=\alpha_1$ por ser el ángulo semi-inscrito al circuncírculo de $BPA$ .

Sabemos que $\angle KPB=\alpha_1 + \beta_1$ por ser ángulo externo de $ABP$ , entonces $\angle SPK=\beta_1$ .

$\angle SCK=\alpha_2$ por ser semi-inscrito y abrir el arco $KC$ .

$\angle KCB=\alpha_1$ por abrir el arco $KB$ al igual que $\angle KAB$ .

Sabemos que $\angle ACL=\angle ABL=\beta_1$ por abrir el arco $LA$ , aparte, $\angle KPC=\alpha_2 + \theta_2$ por ser ángulo externo al triángulo $APC$ .

Como $SPC$ es isósceles, tenemos que $\angle SPC=\angle SCP$

de ahí que $\beta_1 + \alpha_2 + \theta_2=\alpha_2 + \theta_1 + \alpha_1$

luego, $\beta_1 + \theta_2=\theta_1 + \alpha_1$

sabiendo que $\angle MCL=\beta_1 + \theta_2$ y que $\angle KCM=\theta_1 + \alpha_1$ , podemos concluir que $\angle MCL=\angle KCM$ de ahí que los arcos $KM$ y $ML$ sean iguales.. por lo tanto también sus cuerdas... así, concluimos que:

$KM=ML$ ■

Saludos.

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