Primero algo de notación:
- Uno(Bk) aplicación de la operación del tipo 1 a la caja Bk
- Dos(Bk) aplicación de la operación del tipo 2 a la caja Bk
- Unon(Bk) es aplicar n veces la operación del tipo 1 a la caja Bk. Análogamente Dosn(Bk).
- |Bk| es la cantidad de monedas en la caja Bk.
Bueno, ahora provemos el siguiente lema:
Lema: Existe una sucesión de movidas del tipo 1 y 2 que permite cambiar la configuración de cajas de la izquierda al de la derecha.
Demostración:
La siguiente sucesión de movidas logra el cometido:
Uno(B4)
Mientras (B4 no se vacio) hacemos
Uno|B5|(B5)
Dos(B4)
A esta sucesión de movidas la llamaremos Proc(B4).
Ahora bien, pasemos a la solución del problema. Empecemos por cambiar la configuración inicial usando la siguiente sucesión de movidas: Uno(B_1) &\to Uno(B_2) \to Uno(B_3) \to UnoB(4)\\ &\to Uno^3(B_5) \to Dos(B_4) \to Uno^7(B_5)\\ & \to Dos(B_4) \to Dos(B_3)
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
⟹ |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
0 |
2 |
1 |
14 |
0 |
0 |
|
Una vez logrado esto, por podemmos aplicar Proc(B4)→Dos(B3)→Dos(B2) y obtener:
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
0 |
1 |
214 |
0 |
0 |
0 |
Luego, aplicando Uno(B3)→Proc(B4)→Dos(B3)→Proc(B4)→Dos(B3) obtengo que:
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
0 |
1 |
214−3 |
16 |
0 |
0 |
Luego, repitiendo ls operaciones Proc(B4)→Dos(B3) tres veces más obtenemos:
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
0 |
1 |
214−6 |
22216 |
0 |
0 |
Ahora bien, no es muy dificil de ver que 22216>201020102010.
Denotemos con α a la cuarta parte de 201020102010, entonces al aplicar las operaciones Unoα(B4)→Uno2α(B5) llegamos a la configuración:
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
0 |
1 |
214−6 |
22216−α |
0 |
201020102010 |
Luego, sólo nos falta hacer cero el resto de las cajas, y para eso realizamos las operaciones Uno|B3|(B3)→Dos(B2)→Dos|B3|(B3).
Y ya está.