Primero algo de notación:
- $Uno(B_k)$ aplicación de la operación del tipo 1 a la caja $B_k$
- $Dos(B_k)$ aplicación de la operación del tipo 2 a la caja $B_k$
- $Uno^n(B_k)$ es aplicar $n$ veces la operación del tipo 1 a la caja $B_k$. Análogamente $Dos^n(B_k)$.
- $|B_k|$ es la cantidad de monedas en la caja $B_k$.
Bueno, ahora provemos el siguiente lema:
Lema: Existe una sucesión de movidas del tipo 1 y 2 que permite cambiar la configuración de cajas de la izquierda al de la derecha.
| $B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| $a$ |
0 |
0 |
|
$$\Longrightarrow$$ |
| $B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 0 |
$2^a$ |
0 |
|
Demostración:
La siguiente sucesión de movidas logra el cometido:
Uno(B4)
Mientras (B4 no se vacio) hacemos
Uno|B5|(B5)
Dos(B4)
A esta sucesión de movidas la llamaremos $Proc(B_4)$.
Ahora bien, pasemos a la solución del problema. Empecemos por cambiar la configuración inicial usando la siguiente sucesión de movidas: Uno(B_1) &\to Uno(B_2) \to Uno(B_3) \to UnoB(4)\\ &\to Uno^3(B_5) \to Dos(B_4) \to Uno^7(B_5)\\ & \to Dos(B_4) \to Dos(B_3)
| $B_1$ |
$B_2$ |
$B_3$ |
$B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
$$\Longrightarrow$$ |
| $B_1$ |
$B_2$ |
$B_3$ |
$B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 0 |
2 |
1 |
14 |
0 |
0 |
|
Una vez logrado esto, por podemmos aplicar $Proc(B_4) \to Dos(B_3) \to Dos(B_2)$ y obtener:
| $B_1$ |
$B_2$ |
$B_3$ |
$B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 0 |
1 |
$2^{14}$ |
0 |
0 |
0 |
Luego, aplicando $Uno(B_3) \to Proc(B_4) \to Dos(B_3) \to Proc(B_4) \to Dos(B_3)$ obtengo que:
| $B_1$ |
$B_2$ |
$B_3$ |
$B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 0 |
1 |
$2^{14}-3$ |
16 |
0 |
0 |
Luego, repitiendo ls operaciones $Proc(B_4) \to Dos(B_3)$ tres veces más obtenemos:
| $B_1$ |
$B_2$ |
$B_3$ |
$B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 0 |
1 |
$$2^{14}-6$$ |
$$2^{2^{2^{16}}}$$ |
0 |
0 |
Ahora bien, no es muy dificil de ver que $$2^{2^{2^{16}}} > 2010^{2010^{2010}}.$$
Denotemos con $\alpha$ a la cuarta parte de $2010^{2010^{2010}}$, entonces al aplicar las operaciones $Uno^{\alpha}(B_4) \to Uno^{2\alpha}(B_5)$ llegamos a la configuración:
| $B_1$ |
$B_2$ |
$B_3$ |
$B_4$ |
$B_5$ |
$B_6$ |
| 0 |
1 |
$$2^{14}-6$$ |
$$2^{2^{2^{16}}} -\alpha$$ |
0 |
$$2010^{2010^{2010}}$$ |
Luego, sólo nos falta hacer cero el resto de las cajas, y para eso realizamos las operaciones $$Uno^{|B_3|}(B_3) \to Dos(B_2) \to Dos^{|B_3|}(B_3).$$
Y ya está.
