Experto
P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella
Sea ABCDEF un hexágono convexo y sean A1,B1,C1,D1,E1,F1 los puntos medios de AB,BC,CD,DE,EF,FA respectivamente. Se construyen los puntos A2,B2,C2,D2,E2,F2 en el interior de A1B1C1D1E1F1 tales que:
- El dodecágono A2A1B2B1C2C1D2D1E2E1F2F1 tiene sus 12 lados iguales
- ∠A1B2B1+∠C1D2D1+∠E1F2F1=∠B1C2C1+∠D1E2E1+∠F1A2A1=360°, donde todos los ángulos son menores a 180°
Demuestra que Α2B2C2D2E2F2 es cíclico.
6.- 480°???
Sea ABC un triángulo equilátero. Sean A1, B1 y C1 puntos interiores de ABC tales que BA1 = A1C, CB1 = B1A, AC1 = C1B y <BA1C + <CB1A + <AC1B = 480°.
Las rectas BC1 y CB1 se cortan en A2, las rectas CA1 y AC1 se cortan en B2, y las rectas AB1 y BA1 se cortan en C2.
Demuestra que si el triángulo A1B1C1 es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos AA1A2, BB1B2 y CC1C2 pasan todos por dos puntos comunes.
NOTA: un triángulo escaleno tiene sus 3 longitudes de lados distintos.
5.- Triángulo Japonés
Sea n un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en 1 + 2 + ... + n círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada i = 1, 2, ..., n, la fila número i contiene exactamente i círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triángulo japoné es una sucesión de n círculos que comienza en el círculo de la fila superior y termina en el círculo de la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él.
3.- Un polinomio, una sucesión infinita
Para cada entero k≥2, determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos a1,a2,… para los cuales existe un polinomio P de la forma P(x)=xk+ck−1xk−1+...+c1x+c0, con c0,c1,…,ck−1 enteros no negativos, tal que
P(an)=an+1an+2⋯an+k
para todo n≥1
Problema 4 - IMO 2022 - Un cíclico a partir de un pentágono
P3 IMO 1993 - Tablero de ajedrez infinito
Sobre un tablero de ajedrez infinito se juega de la siguiente manera:
Al principio hay n2 fichas dispuestas sobre el tablero en un cuadrado de n×n de casillas adyacentes, con una ficha en cada casilla. Cada jugada es un salto de una ficha en dirección horizontal o vertical sobre una casilla adyacente, ocupada por otra, hasta una no ocupada, contigua a ella. La ficha sobre la que se ha saltado se retira. Halle los valores de n para los que el juego puede terminar quedando una única ficha en el tablero.
Problema 6 - IMO 2016 - Malfalda silba y las ranas saltan
Se tienen n≥2 segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersecan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar sobre él una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará n−1 veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.
Problema 5 - IMO 2016 - Quita términos lineales de ambos lados
En la pizarra está escrita la ecuación (x−1)(x−2)⋯(x−2016)=(x−1)(x−2)⋯(x−2016) que tiene 2016 factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de k para el cual pueden borrarse exactamente k de estos 4032 factores lineal, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.
Problema 4 - IMO 2016 - Conjunto de enteros fragantes
Un conjunto de números enteros positivos se llama fragante si tiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de elementos restantes. Sea P(n)=n2+n+1. Determinar el menor número entero positivo b para el cual existe algún número entero no negativo a tal que el conjunto {P(a+1),P(a+2),…,P(a+b)} es fragante.
Problema 3 - IMO 2016 - Área de un polígono cíclico de coordenadas enteras.
Sea P=A1A2…Ak un polígono convexo en el plano. Los vértices A1,A2,…,Ak tienen coordenadas enteras y están sobre un círculo. Sea S el área de P. Los cuadrados de las los lados de P son todos divisibles por un entero dado n. Demuestra que 2S es divisible por n,
Traducido del inglés.
