Experto

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que:

El triángulo $BCF$  tiene ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ está elegido de tal manera que $DA= DC$ y $AC$ es la bisectríz de $\angle DAB$. El punto $E$ es tal que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectríz de $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (donde $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las líneas $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.

Traducido del inglés.

Para cada entero positivo $n$, el Banco de Ciudad del Cabo produce monedas de valor $\frac{1}{n}$. Dada una colección finita de tales monedas (no necesariamente de distintos valores) cuyo valor total no supera $99 + \frac{1}{2}$, demostrar que es posible separar esta colección en 100 o menos montones, de modo que el valor total de cada montón sea como máximo 1.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y
$$\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ},\quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}$$.
Demostrar que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Sea $n \geq 2$ un entero. Consideremos un tablero de tamaño $n \times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Halle el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ fichas, existe un cuadrado de tamaño $k \times k$ sin fichas en sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Sea $A_1A_2\ldots A_8$ un octágono convexo, es decir, un octágono donde todos sus ángulos internos son menores de $180^{\circ}$. Además los lados del octágono tienen la misma longitud y cada par de lados opuestos son paralelos. Para cada $i=1,\ldots,8$, definamos el punto $B_i$ como la intersección del segmento $A_iA_{i+4}$ con el segmento $A_{i-1}A_{i+1}$, donde  $A_{j+8}=A_j$ y $B_{j+8}=B_j$ para todo número entero $j$. Muestra que para algún número $i$, de entre los números $1,2,3,4$ se cumple

$$\frac{|A_iA_{i+4}|}{|B_iB_{i+4}|}\leq\frac{3}{2}$$

Un conjunto $A$ de enteros es llamado lleno por sumas si $A \subseteq A + A$, es decir, que cada elemento $a \in A$ es la suma de algún par (no necesarimante distintos) de elementos $b,c \in A$.

Un conjunto $A$ de enteros es llamado libre de sumar cero si 0 es el único entero que no puede ser expreado como la suma de los elementos de un subconjunto finito y no vacio de $A$.

¿Existirá un conjunto de enteros lleno por sumas y libre de sumar cero?

Entontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.

©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com

Demuestra que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos

Una función $f: N \mapsto N$ es circular si para cada $p$ en $N$ existe $n$ en $N$ con $n\leq p$ tal que:
$$\underbrace{f^n(p) = f(f(\ldots f(p) \ldots )))}_{n veces}=p$$
La función $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0 < k < 1$, si para cada $p$ en $N$, $f^i(p) \neq p$ para $i\leq [k\cdot p]$. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: $[x]$ indica el mayor entero menor o igual que $x$.