El triángulo BCF tiene ángulo recto en B. Sea A el punto en la línea CF tal que FA=FB y F se encuentra entre A y C. El punto D está elegido de tal manera que DA=DC y AC es la bisectríz de ∠DAB. El punto E es tal que EA=ED y AD es la bisectríz de ∠EAC. Sea M el punto medio de CF. Sea X el punto tal que AMXE es un paralelogramo (donde AM∥EX y AE∥MX). Demuestra que las líneas BD, FX y ME son concurrentes.
Traducido del inglés.
Gracias por traducir los
Gracias por traducir los problemas Jesús! ¿Qué te parecio este problema y el examen de la IMO en general? ahi va mi solución al primero:
XE es paralela a MA y DE es paralela a CA entonces X,D,E son colineales. Sea ∠FAB=α obtenemos que ∠CDA=180°−2α como ∠CBA=90°+α además CD=DA obtenemos que D es circuncentro de ΔCBA así ∠DBA=2α y DBAE es ciclíco pues opuestos son suplementarios. Tenemos las igualdades α=∠DBF=∠DAE=∠DBE entonces B,F,E son colineales.
Ahora como BDA es isósceles y F es su incentro, tenemos que DF⊥BA pero DC∥BA de esto se puede concluir que CBFD es cíclico con centro en M, así ∠DMF=2α como ∠CFB=2α se sigue que MD y BF sean paralelas y también que MDEF sea paralelogramo con todos sus lados iguales esto debido a las igualdades DE=FE=EA que no son dificiles de probar, de esto MF=FE. Y obtenemos que XE=MA=BE. De esto se concluye que como ED=EF y XE=BE aquí aplicando el teorema de Ceva en ΔXBE con las Cevianas BD,XF,ME bastará probar que ME es mediana, esto ocurre si y solo si (BME)=(XME) donde (RPQ) denota el área de RPQ. En efecto, (BME)=(BDE)=(XFE)=(XME) recordando que MD∥BE y que ΔXFE≡ΔBDE pues satisfacen el criterio de congruencia LAL. Acabamos.
Saludos
germán
Hola Germán, pues este
Hola Germán, pues este problema me pareció sencillo, pero no tanto como el problema 4. Lo sencillo de éste es por que tienen muchos lados por dónde entrarle, basta con hacer una buena figura para saber qué hacer. Aunque su mayor dificultad radica en que hay muchas propiedades que necesitan ser probadas antes de llegar a la conclusión. En el caso del problema 4, sólo vi un camino por dónde entrarle y ese camino es bastante directo, y en 5 pasos sale.
El problema 2 me gustó mucho, y la verdad no se me hizo fácil. El 3 no he tenido tiempo de pensarlo, pero ya lo leí y no se me ocurre nada. Para el problema 5, me parece que está atacable, aunque aún no le dedico tiempo, pero a juzgar por los resultados de la selección no debe ser tan fácil. El problema 6 no lo he leído.
Sobre tu solución, me ha sorprendido la manera en que has probado que ME es mediana. Jamás había usado esa propiedad de áreas iguales. En mi solución yo probé que las tres rectas en cuestión son las bisectrices del triángulo MDF. A ver si tengo tiempo de subir mi solución, pero es muy diferente a la tuya.
Saludos,
Jesús