El triángulo $BCF$ tiene ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la línea $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ está elegido de tal manera que $DA= DC$ y $AC$ es la bisectríz de $\angle DAB$. El punto $E$ es tal que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectríz de $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (donde $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las líneas $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.
Traducido del inglés.
Gracias por traducir los
Gracias por traducir los problemas Jesús! ¿Qué te parecio este problema y el examen de la IMO en general? ahi va mi solución al primero:
$XE$ es paralela a $MA$ y $DE$ es paralela a $CA$ entonces $X,D,E$ son colineales. Sea $\angle FAB = \alpha$ obtenemos que $\angle CDA = 180° - 2\alpha$ como $\angle CBA= 90°+\alpha$ además $CD=DA$ obtenemos que D es circuncentro de $\Delta CBA$ así $\angle DBA = 2\alpha$ y $DBAE$ es ciclíco pues opuestos son suplementarios. Tenemos las igualdades $\alpha =\angle DBF = \angle DAE =\angle DBE$ entonces $B,F,E$ son colineales.
Ahora como $BDA$ es isósceles y $F$ es su incentro, tenemos que $DF \perp BA$ pero $DC \parallel BA$ de esto se puede concluir que $CBFD$ es cíclico con centro en M, así $\angle DMF = 2\alpha $ como $\angle CFB=2\alpha$ se sigue que MD y BF sean paralelas y también que MDEF sea paralelogramo con todos sus lados iguales esto debido a las igualdades DE=FE=EA que no son dificiles de probar, de esto MF=FE. Y obtenemos que XE=MA=BE. De esto se concluye que como ED=EF y XE=BE aquí aplicando el teorema de Ceva en $\Delta XBE$ con las Cevianas $BD,XF,ME$ bastará probar que $ME$ es mediana, esto ocurre si y solo si $(BME) = (XME)$ donde (RPQ) denota el área de RPQ. En efecto, $(BME) = (BDE) = (XFE) = (XME)$ recordando que $MD \parallel BE$ y que $\Delta XFE \equiv \Delta BDE$ pues satisfacen el criterio de congruencia LAL. Acabamos.
Saludos
germán
Hola Germán, pues este
Hola Germán, pues este problema me pareció sencillo, pero no tanto como el problema 4. Lo sencillo de éste es por que tienen muchos lados por dónde entrarle, basta con hacer una buena figura para saber qué hacer. Aunque su mayor dificultad radica en que hay muchas propiedades que necesitan ser probadas antes de llegar a la conclusión. En el caso del problema 4, sólo vi un camino por dónde entrarle y ese camino es bastante directo, y en 5 pasos sale.
El problema 2 me gustó mucho, y la verdad no se me hizo fácil. El 3 no he tenido tiempo de pensarlo, pero ya lo leí y no se me ocurre nada. Para el problema 5, me parece que está atacable, aunque aún no le dedico tiempo, pero a juzgar por los resultados de la selección no debe ser tan fácil. El problema 6 no lo he leído.
Sobre tu solución, me ha sorprendido la manera en que has probado que $ME$ es mediana. Jamás había usado esa propiedad de áreas iguales. En mi solución yo probé que las tres rectas en cuestión son las bisectrices del triángulo $MDF$. A ver si tengo tiempo de subir mi solución, pero es muy diferente a la tuya.
Saludos,
Jesús