Problema 2 - IMO 2016 - Las letras de IMO en un tablero

Enviado por jesus el 11 de Julio de 2016 - 12:42.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero de $n \times n$ puede escribir una de las letras $I$ , $M$ y $O$ de manera que:

en cada fila y en cada columna, un tercio de las casillas tiene I, un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$ ; y
en cualquier línea diagonal compuesta por un número de casillas divisible por tres, exactamente un tercio de las casillas tienen $I$ , un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$ .

Nota: Las filas y las columnas del tablero de $n\times n$ se enumeran desde 1 hasta n, en su orden natural. Así, cada casilla corresponde a un par enteros positivos $(i,j)$ con $1 \leq i,j \leq n$ . Para $n > 1$ , el tablero tiene $4n -2$ líneas diagonales de dos tipos. Una línea diagonal del primer tipo se compone de todas las celdas $(i,j)$ para las que $i+j$ es constante, mientras que una línea diagonal del segundo tipo se compone de todas las casillas $(i,j)$ para las que $i-j$ es constante.

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Analiza que no es posible para n=3
Construye una configuración válida para n=9. Intenta colocar patrones de tres en tres.
Observa que la construcción anterior se puede extender para toda $n=9k$
Demuetra que si se puede para n=3m, entonces m es múltiplo de tres.
1. Puedes demostrar que si $I_3$ es la cantidad de casillas con una I y por donde pasan dos diagonales, entonces se tiene que $m^2 = 3 I_3$

Solución

Por:

jesus

Solución:

Esbozo de la solución

Para construir una configuración válida para n=9 se colocan de tres en tres las letras IMO, se va de izquierda a derecha poniendo III MMM OOO, luego el siguiente renglón se recorre a iniciar con la M, es decir MMM OOO III y así sucesivamente.
Observa que la construcción anterior se puede extender para toda $n=9k$ , basta con repetetir $k^2$ veces la configuración del caso $9 \times 9$ .
Ahora, supongamos que para n=3m existe una configuración, entonces demostraremos que m es múltiplo de tres. Lo hacemos como sigue:
1. Divide la cuadrícula de $n \times n$ en $m^2$ cuadrados de $3 \times 3$ (recuerda que $n=3m$ )
2. Observa que las líneas diagonales del cuadrado, cortan a cada cuadrado de $3 \times 3$ en dos diagonales.
3. Observa que cada casilla está en algunos de los siguientes casos:
  1. Caso 1: No está en ningúna diagonal
  2. Caso 2: Está en sólo una diagonal
  3. Caso 3: Está en dos diagonales.
4. Denota con $I_1, I_2$ e $I_3$ la cantidad de casillas marcadas con una I en cada caso, respectivamente.
5. Cuenta de varias maneras la cantidad de I's, tomando en cuenta que si una I está en el caso 2 o 3 está en una o dos diagonales y se podría contar más de una vez. De esta manera obtendrás relaciones entre I1, I2, I3 y m. Reduce dichas relaciones para demostrar que m2=3I3. Más detalles de esto es:
  1. De la suma de todas las I's en el tablero se obtiene $I_1+I_2+I_3 = m^2$
  2. De sumar la cantidad de I's en cada diagonal (una a la vez) se obtiene $I_2 + 2I_3 = 2m^2$
  3. Se sumar las cantidad de I's en renglones y columnas medias (las que pasan por enmedio de cada cuadrado de $3 \times 3$ ) se obtienen las identidad $I_1 + 2I_3 = 2m^2$
  4. Despejando $I_3$ de las últimas dos identidades y substituyéndolas en la primera obtenemos $m^2 = 3 I_3$

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