EGMO 2012
EGMO Problema 4 - Conjunto de enteros llenos por sumas y libres de sumar cero
Un conjunto $A$ de enteros es llamado lleno por sumas si $A \subseteq A + A$, es decir, que cada elemento $a \in A$ es la suma de algún par (no necesarimante distintos) de elementos $b,c \in A$.
Un conjunto $A$ de enteros es llamado libre de sumar cero si 0 es el único entero que no puede ser expreado como la suma de los elementos de un subconjunto finito y no vacio de $A$.
¿Existirá un conjunto de enteros lleno por sumas y libre de sumar cero?
EGMO 2012 Problema 3 - Relación funcional en los reales
Entontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.
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EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla
Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:
Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones, $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$
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EGMO Problema 1 - Sobre dos circuncentros y demostrar que una línea es perpendicular
Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Los puntos D, E y F se encuntran en el interio de los lados BC, CA y AB respectivamente, de tal manera que DE es perpendicular a CO y DF such that DE is perpendicular to CO and DF is perpendicular to BO. (Por punto interior nos referimos, por ejemplo, a que el punto D se encuentra sobre la línea BC y D está entre B y C en esa línea)
Consideremos K el circuncentro del triángulo AFE. Desmuestra que las líneas DK y BC son perpendiculares.
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