EGMO Problema 4 - Conjunto de enteros llenos por sumas y libres de sumar cero

Enviado por jesus el 22 de Mayo de 2012 - 14:17.

Un conjunto $A$ de enteros es llamado lleno por sumas si $A \subseteq A + A$, es decir, que cada elemento $a \in A$ es la suma de algún par (no necesarimante distintos) de elementos $b,c \in A$.

Un conjunto $A$ de enteros es llamado libre de sumar cero si 0 es el único entero que no puede ser expreado como la suma de los elementos de un subconjunto finito y no vacio de $A$.

¿Existirá un conjunto de enteros lleno por sumas y libre de sumar cero?

©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Concentrate en buscar conjuntos libres de sumar cero. Ten cuidado, que cero sea el único que no se puede escribir como la suma de un subconjunto finito, implica que todos los demás deberán poderse escribir.
La respuesta es que el conjunto sí existe. Concentrate en buscar el ejemplo.
Si aun no has podido, intenta con sucesiones de enteros que van alternando en signo y aumentando en valor absoluto.
Empieza con el 1 y -2, después ve agregando más enteros, procurando:
1. Que con el número agregado no aparezca una suma que de cero.
2. Que aumenten cada vez más el número de elementos que se puedan construir como sumas de elementos del conjunto.
3. Que el aumento crezca alternadamente en ambas direcciones, es decir, que a veces crezca hacia los positivos y a veces hacia los negativos.
4. Que el elemento agregado, haga que un elemento existente sea suma de dos elementos. Esto, para que se satisfaga la propiedad de ser lleno por sumas.
Considera la sucesión $(-1)^nF_n$ donde $F_n$ es el n-esimo término de la sucesión de Fibonacci. ($ F_1=1, F_2 =2, F_3 = 3, \dots$)

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