P3 IMO 1993 - Tablero de ajedrez infinito

1. Observe que los casos 1, 2,4 y 5 se pueden resolver
2. Use una coloración de 3 colores para probar que los múltiplos de 3 no se pueden
3. Para probar que los no múltiplos de 3 se pueden, busque una manera de una cuadrícula de fichas de $n\times n$ a una con sólo $(n-3)\times (n-3)$. Es posible que su argumente requiera que $n \geq 6$

Sugerencia extras

1. Para demostrar los casos generales, es más fácil de usar la siguiente configuración:
   
   • Considere una porción del tablero con 5 casillas formando una "T".
   • y con 4 fichas en ella formando una "L" (La T sin un brazo), es decir, la casilla sin ficha es un brazo de la letra T
   • Es posible dar una una sucesión de 3 movidas dentreo de "T" que elimina las tres fichas del tronco de la T
2. Para la prueba de la imposibilidad del caso $n = 3k$ use lo siguinte:
   • Colorea con 3 colores en forma de ajedrez. De tal manera, que tres casillas adyacentes (3x1 o 1x3) contienen simpre los tres colores.
   • Observa que la cantidad de fichas en casillas de un color dado cambia en $\pm 1$ en cada movida. Haciendo que su paridad vaya alternando en cada movida
   • Par el caso $n=3k$ siempre las tres cantidades de fichas en cada color (son 3 colores) al principio son iguales. Es decir, tienen la misma paridad. Entonces, en cada movida siempre tienen la misma paridad (todas pares o todas impares).
   • Concluya que es imposible llegar a una sólo ficha en un color y cero en los otros. Pues una será impar y las otras dos impares