Problema 1, IMO 2010

Estudiemos lo que pasa para $x=0$, entonces,

$$f(0) = f(\lfloor 0 \rfloor y)= f(0) \lfloor f(y) \rfloor$$

Caso f(0) distinto de 0

Si $f(0)$ no es cero, entonces se tendrá que $\lfloor f(y) \rfloor =1$ para toda $y \in \mathbb{R}$.

Ahora bien,

$$f(0) = f(\lfloor x \rfloor 0)= f(x) \lfloor f(0) \rfloor = f(x)$$

Por lo tanto, $f(x) = \textrn{constante} \in [1,2)$. funciona. No es dificil checarlo.

Caso f(0) = 0

Entonces, para este caso estudiemos qué pasa para $x,y= 1$ . Entonces, observamos que:

$$f(1) = f(\lfloor 1 \rfloor 1)= f(1) \lfloor f(1) \rfloor$$

Entonces, se tienen dos casos: que $f(1) = 0$ o bien, $\lfloor f(1) \rfloor = 1$

Sub-caso f(1)=0:

En este caso se tendrá que $f(y) = f(\lfloor 1 \rfloor y) = f(1) \lfloor f(y) \rfloor = 0$ para toda $y \in \mathbb{R}$.

Subcaso ⌊f(1)⌋ = 1.

En este caso se tendrá que

$$f(\lfloor x \rfloor) = f(\lfloor x \rfloor \cdot 1) = f( x ) \cdot \lfloor f(1) \rfloor =f(x)$$

Es decir, $f(x) = f(\lfloor x \rfloor)$  para toda $x \in \mathbb{R}$. En particular se tiene que $f(1/2) = f(\lfloor 1/2 \rfloor) = f(0) = 0$

Ahora bien,

$$f(1) = f(\lfloor 2 \rfloor \cdot \frac{1}{2}) = f(2) \cdot \lfloor f(\frac{1}{2}) \rfloor =f(2) \dot 0 = 0$$

Lo que contradice el hecho de que $\lfloor f(1) \rfloor = 1$.

Entonces, hemos demostrado que las únicas funciones son $f(x) = c$, donde $c$ es una constante en el intervalo $[1,2)$ o bien, $c=0$.