Problema 2, IMO 2010

Primero la figura:

Llamemos $J$ al punto de intersección de $AD$ y $BC$. Luego, observemos que los triángulos $AFJ$ y $ADE$ por el critério AA (los ángulos en $F$ y en $D$ son iguales, además $AD$ es biserctriz del $\angle FAE$). En cosecuencia se tiene que $$\frac{AF}{AD} =\frac{AJ}{AE}.$$ Ahora observemos, que los triángulos $ADF$ y $AEJ$ serán semejantes por el criterio LAL de semajanza (dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos es igual).

Luego, por la semejanza,  $\angle ADF = \angle AEJ$ y en consecuencia, las rectas $DF$ y $EJ$ intersectarán a $\Gamma$ en el mismo punto que llameremos $H$ (ver la siguiente figura).

senos

Regresando a la pregunta original. Queremos probar que $DG$ y $EI$ concurren en $\Gamma$, entonces, para ello bastará probar que el ángulo $IDG$ es igual al ángulo $AEI$. Para probar esta igualdad demostraremos la siguiente igualdad de razón de senos:  \frac{\textrm{sen}(\angle IDG) }{\textrm{sen}(\angle GDF) } = \frac{\textrm{sen}(\angle AEI) }{\textrm{sen}(\angle IEJ) }

Esto es suficiente ya que los ángulos $IDF$ y $AEJ$ son iguales. 

Usando una generalización del teorema de la bisectríz en los triángulos IDF y AEJ obtenemos las identidades:

\frac{ID}{DF} \cdot \frac{\textrm{sen}(\angle IDG) }{\textrm{sen}(\angle GDF) } = \frac{IG}{GF}=1
\frac{EA}{EJ} \cdot \frac{\textrm{sen}(\angle EAI) }{\textrm{sen}(\angle IEJ) } = \frac{AI}{IJ}

 Entonces, de ($\ref{gen_1}$) y ($\ref{gen_2}$) obtenemos que la identidad ($\ref{senos}$) es cierta si y sólo si:

\frac{DF}{DI} = \frac{AI}{IJ} \cdot \frac{EJ}{EA}

Pero recordemos que los triángulo $AEJ$ y $ADF$ son semejantes, por lo que, $$\frac{EJ}{EA} = \frac{DF}{DA}.$$

Sustituyendo esta última identidad en ($\ref{sen_reduc}$) obtenemos que:

\frac{DF}{DI} &= \frac{AI}{IJ} \cdot \frac{DF}{DA} \\ & \Longleftrightarrow \\ \frac{DA}{DI} &= \frac{AI}{IJ}

Luego, es conocido que $DI = DC$, y no es dificil probar que los triángulos $ADC$ y $ABJ$ son semejantes,  y que por lo tanto:\frac{AD}{DI} = \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BJ}.

Pero por el teorema de la bisectríz se tiene que: \frac{AB}{BJ} = \frac{AI}{IJ}

Por último, usando ($\ref{semej}$) y ($\ref{bisec}$) se prueba ($\ref{simple}$), con lo cuál, concluimos la prueba.