Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

P2 OMM 1997. Alineados con centroide... ¿Menelao?

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 10:26.

En un triángulo $ABC$, sean $P$ y $P'$ puntos sobre el segmento $BC$, $Q$ en  $CA$ y $R$ sobre $AB$, de forma que $$\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}$$
Sean $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de las rectas $AP'$ y $RQ$. Demuestre que los puntos $P, G, K$ son colineales.

Problema

P6 OMM 1996. Perpendiculares que miden el lado que cortan

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:45.

En la figura se muestra un triángulo acutángulo $ABC$ en el que la longitud de $AB$ es menor que la de $BC$ y la de $BC$ es menor que la de $AC$ . Los puntos $A', B'$ y $C'$ son tales que $AA'$ es perpendicular a $BC$, y la longitud
de $AA'$ es igual a la de $BC$; $BB'$ es perpendicular a $AC$ y la longitud de $BB'$ es igual a la de $AC$; $CC'$ es perpendicular a $AB$ y la longitud de $CC'$ es igual a la de $AB$. Además el ángulo $AC'B$ es de 90 grados. Demuestra que $A', B'$ y $C'$ son colineales.

Problema

P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:36.

En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$

Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.

Problema

P3 OMM 1996. Cubrir cuadrícula con dominós con una condición

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:30.

Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 6 cm con 28 rectángulos de 2cm × 1cm, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 5cm con 15 rectángulos de 2cm × 1cm de tal manera que cada una de las rectas de 5cm o 6 cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.

Problema

P2 OMM 1996. La ficha 1 te prende el foco

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 09:28.

Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas están numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la casilla del mismo número). En la parte central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la numeración), como sigue: la ficha #1 se desplaza una casilla, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias casillas ocupar la misma posición.

Problema

P6 OMM 1995. Tres operaciones sobre los símbolos de una cuadrícula

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:36.

Sobre los cuadrados de una cuadrícula de $4x4$ se colocan símbolos 0 y1; estos símbolos se cambian uno por el otro de acuerdo a las siguientes tres operaciones:
La operación (a) cambia los símbolos de todos los elemntos de un renglón.
La operación (b) cambia de símbolos de todos los elementos de una columna.
La operación (c) cambia de símbolos de todos los elementos de una diagonal
(líneas punteadas en la figura).

Problema

P5 OMM 1995. Triángulos de igual área en pentágono

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:28.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC,BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestra que

$$\frac{1}{4} (ABCDE)<(ABC)<\frac{1}{3} (ABCDE)$$.

(Donde el paréntesis denota el área del polígono dentro de él.)

Problema

P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:25.

a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.

Problema

P3 OMM 1995. Vértices consecutivos de heptágono regular

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:23.

Sean $A,B,C,D$ vértices consecutivos de un heptágono regular, y $AL$ y $AM$ las tangentes desde $A$ a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$. Si $N$ es la intersección de $AC$ y $BD$, demuestra que los puntos $L, M$ y $N$ son colineales.

Problema

P5 OMM 1994. Cuatro vértices, 4 triángulos, 12 alturas

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 12:39.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor a 180 grados) y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices $A,B,C$ y $D$. Demuestre que no importa qué cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.

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