P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números

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En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$:

$$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$

Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.

1. Sea $M$ la mayor $L(C)$ que se puede obtener de entre todos los caminos
$C$ en una cuadrícula fija de tamaño $n \times n$ y sea $m$ la menor $L(C)$ (también de entre todos los caminos $C$ en una cuadrícula fija de tamaño $n \times n$). Prueba que $M - m$ es un cubo perfecto.
2. Prueba que en ninguna cuadrícula hay un camino tal que $L(C) =1996$.