La mamá de Vero esta haciendo su testamento. A sus tres hijas le dará en herencia el número de pesos que calculen como sigue:
- tienen que escribir el numero 52 como suma de entero positivos y
- multiplicar los sumandos.
- El resutlado será su herencia en pesos.
Malena escribio 52=13+13+13+13 por lo que recibirá 13 elevado a la cuarta ( $28 561 pesos). Barbara escribió 52=10+10+10+10+10+2 por los que recibirá 10 elevado a la quinta por 2 (200 000 pesos) . Vero calculó el máximo número posible y obtendrá una herencia considerable. ¿Cuanto recibirá? (Vero dio la respuesta en forma abreviada, usando potencias, sin hacer todas las cuentas).
Sí pude!! Esta es la
Sí pude!! Esta es la solución.
Supongamos que $a_1, a_2, \ldots, a_n$ es una lista de enteros que suma 52 y cuyo producto es lo más grande posible.
Entonces, ningún sumando $a_i$ es mayor o igual a 5, pues de lo contrario lo puedo sustituir por la pareja de enteros $3$, $a_i -3$ cuyo producto será mayor que $a_i$, la prueba:
\begin{aligned}
3(a_i - 3)& > a_i \\ 3a_i -9 &> a_i \\ 2a_i &> 9 \\ a_i &> 4.5
\end{aligned}
Por lo que, todos los sumandos satisfacen $ 2 \leq a_i \leq 4$. Por otro lado, si alguno de los sumandos es exactamente 4, lo podemos cambiar por la pareja (2, 2), lo cual no afecta el producto. Entonces, sin perdida de generalidad, podemos suponer que todos los sumandos en el producto más grande son 2's o 3's.
Por último, la suma $2+2+2 $ es igual a $3+3$, pero $2 \times 2 \times 2 < 3 \times 3$. Por lo tanto, a lo más hay dos sumandos 2's. Es decir, sólo hay tres posibilidades para la suma que da el producto más grande:
La primera descomposición sólo es posible si el número a descomponer es múltiplo de 3, la segunda si el número tiene residuo dos al dividirse entre tres, y la tercera si tiene residuo uno al dividirse entre tres.
El número 52 tiene residuo uno al dividirse entre 2, de hecho $52 = 3\times17 +1$, por lo tanto, $52 = \underbrace{3 + \cdots + 3}_{16\quad veces} + 2 + 2$ es la suma que genera el producto más grande, que es $4 \times 3^{16} =$ 172,186 884
Wow muy bien hasta resolviste
Ya me había topado con este
Ya me había topado con este problema con anterioridad, lo que tuve que hacer fue recordar cómo lo hice. Es bastante interesante, recuerdo que Hector Flores (el entrenador de Nuevo León) me comentó que esto tenía relación con el número $e$, pues de alguna manera la solución es el número entero más cercano a $e$.
Pues me puse a pensar un poco en esto y creo que porfín pude ver la relación. Ahí te va.
Una primera observación, es que si uno deja fijo el número de sumandos, pues el producto más grande (permitiendo sumar de reales positivos) es cuando todos los sumandos son iguales. Es decir, el producto más grande será $(52/n)^n$ donde $n$ es el número de sumando y $52/n$ serán los sumandos. Esto parerce tener relación con la expresión: $$e^k = \lim_{n \to \infty}(1+ \frac{k}{n})^n$$, pero no encontré relación alguna.
Como a mi me interesa saber quién es el sumando que hace más grande la suma, hacemos el cambio de variable $x = 52/n$, con lo que se tendrá que el producto más grande se logra con $x^{52/x}$, si dejamos variar esta función sobre todos los reales positivos, el máximo se alcanza en $x = e$. ¡Y ya está!
Saludos