Avanzado

 Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.

Sea $f$ una función de los enteros a los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m,n$, la diferencia $f(m)-f(n)$ es divisible entre $f(m-n)$. Demostrar que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m)\leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible entre $f(m)$.

 Sea $n>0$ un entero. Se tiene disponible una balanza y $n$ pesas de pesos $2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las pesas en la balanza, una después de otra, de tal manera que el lado derecho nunca sea más pesado que el izquierdo. En cada paso elegimos una de las pesas que aún no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos en alguno de los dos lados, hasta que todas las pesas han sido colocadas. Determinar el número de formas en que eso puede hacerse.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $Y$ y $Z$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ sobre $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ con respecto a $E$ y $E_1$ reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF = FD+DE$ demuestra que $\angle BZF_1 = \angle CYE_1$.

Nota. La reflexión de un punto $P$ respecto a un punto $Q$ es el punto $P_1$ ubicado sobre la recta $PQ$ tal que $Q$ queda entre $P$ y $P_1$, y $PQ = QP_1$

Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:

$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$

Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.

Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y remplazar $n$ por $\frac{n + p^2}{p}$.

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, $D$ el pie de la altura desde $A$, $E$ la intersección del lado $AC$ con la bisectriz del lado $\angle ABC$, y $F$ un punto sobre el lado $AB$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos donde se cortan las rectas $AD$ con $BE$, $BE$ con $CF$, $CF$ con $AD$, respectivamente. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ es un triángulo equilátero.

 Considere un triángulo $ABC$ con $AB=AC$, y sea $D$ el punto medio de $BC$. La circunferencia de diámetro $AD$ corta el lado $AB$ en $B'$ y el lado $AC$ en $C'$. El circuncírculo de $ABC$, con centro en $O,$ es tangente al lado $AB$ en $P$ y al lado $AC$ en $Q$. Si llamamos $M$ al punto medio de $PQ$, demostrar:

• $B'M$ es paralelo a $BO$
• $M$ es equidistante de los lados del triángulo $AB'C'$