Avanzado

 Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demuestre que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y sólo si, se verifica la igualdad

Sea $n$ un número natural. Un cubo de arista $n$ puede ser dividido en $1996$ cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de $n$.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y en $Z$, respectivamente. Demuestre que $EY = FZ$.

En un tablero de $m\times m$ casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).

Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.

Se dan los puntos $A, B, C$ sobre una circunferencia $K$ de manera que el triángulo $ABC$ sea acutángulo. Sea $P$ un punto interior a $K$. Se trazan las rectas $AP, BP, CP$, que cortan de nuevo a la circunferencia en $X, Y, Z$. Determinar el punto $P$ que hace equilátero al triángulo $XYZ$.

En cada casilla de un tablero $n\times n$ hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara, cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, lograr que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de $n$, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus vértices se denotan consecutivamente por $A, B, C, D$. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en $AB$, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

• i) Demostrar que $AB = AD + BC$.
• ii) Calcular, en función de $x = AB, y = CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.

Se dice que un número natural $n$ es "sensato" si existe un entero $r$, con $1 < r < n-1$, tal que la representación de $n$ en base $r$ tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4.  Demuestre que 1993 no es sensato pero 1994 si lo es.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en el plano. Denotemos por $m (PQ)$ la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento, que satisface las siguientes propiedades:

• a) Si $P$ y $Q$ están en $S$, entonces $m (PQ)$ intersecta a $S$.
• b) Si $P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces no existe ningún punto de $S$ en la intersección de las tres líneas $m(P_1Q_1), m(P_2Q_2),m(P_3Q_3$).

Determine el número de puntos que puede tener $S$.