Avanzado

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

• Todos los dígitos de $n$ son mayores que 1.
• Siempre que se multiplican cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

• (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
• (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.

Hay un montón de 2000 piedras. Dos jugadores juegan alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas:

• (a) En cada jugada se pueden retirar 1, 2, 3, 4 ó 5 piedras del montón.
• (b) En cada jugada esá prohíbido que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa.
• (c) Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida.

Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

De una progresión aritmética infinita $1, a_1, a_2\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita: $1, a_{n_1}, a_{n_2},\ldots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación
$$(x + 1)^y - x^z = 1$$
Para $x, y, z$ enteros mayores que 1.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$, y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M, D$ y $C$ están alineados.

Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices del 1 al $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del 1 al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:

• (a) El número asignado a cada lado o diagonal es distinto a los asignados a los vértices que une.
• (b) Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice
  tienen números diferentes.

 Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ de la siguiente manera: $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, entonces $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n,\ldots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Nota: Una sucesión $C_1, C_2,\ldots, C_n,\ldots$ es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n\geq k$.

Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$. Las alturas del triángulo son $AD, BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.

• a) Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
• b) Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2AD\cdot OM$

 Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.