Avanzado
Distancias entre puntos de una cuadrícula
Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura
De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:
Triángulo aritmético
Sea dado el triángulo aritmético
0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
1 3 5 7...................... 3983 3985
4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.
Segmentos formados por n puntos
Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda$ distinto de cero, de manera que $\overline{A_iA_j}^2=\lambda_i+\lambda_j$, para todos los $i,j,i\neq j$
Demuestre que
(a) $n\leq 4$
(b) Si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$
Coloreo de triángulos con fichas
Tres fichas $A, B, C$ están situadas una en cada vértice de un triángulo equilátero de lado $n$. Se ha dividido el triángulo en triangulitos equiláteros de lado 1, tal como muestra la figura en el caso $n = 3$.
Inicialmente todas las líneas de la figura están pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:
Suma de fracciones 1/ab
Dado un número natural $n\geq 2$ considere todas las fracciones de la forma $1/ab$, donde $a$ y $b$ son números naturales, primos entre sí y tales que $$a < b \leq n$$ $$a + b \gt n$$ Demuestre que para cada $n$, la suma de estas fracciones es 1/2.
Método para distribuir ceros y unos en un tablero
Tenemos un tablero cuadriculado de $k^2 - k + 1$ filas y $k^2 - k + 1$ columnas, donde $k = p + 1$ y $p$ es un número primo. Para cada primo $p$, dé un método para distribuir números entre 0 y 1, un número en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente $k$ números $0$ en cada columna haya exactamente $k$ números $0$ y además no haya ningún rectángulo de lados paralelos a los lados del tablero con números 0 en sus cuatro vértices.
Punto medio de la mediana
Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demuestre que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y sólo si, se verifica la igualdad $$\frac{BM}{MN}=\left(\frac{BC}{BN}\right)^2$$
Cubo formado por 1996 cubos
Sea $n$ un número natural. Un cubo de arista $n$ puede ser dividido en $1996$ cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de $n$.
... y se forma un trapecio isósceles...
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y en $Z$, respectivamente. Demuestre que $EY = FZ$.
Dominio eficiente de un tablero
En un tablero de $m\times m$ casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).