Avanzado

Sea $f$ una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

• (I) Si $n = 2^j -1$, para $n = 0, 1, 2,\ldots$, entonces $f(n)=0$
• (II) Si $n\neq 2^j-1, para n = 0, 1, 2,\ldots, entonces $f(n+1) = f(n) -1$.

a) Demostrar que para todo entero $n$, mayor o igual que cero, existe un entero $k$, mayor que cero, tal que $f(n)+n= 2^k - 1$
b) Calcular $f (2^{1990})$

 Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$

Sea la función $f$ definida sobre el conjunto $\{1, 2, 3,\ldots\}$ tal que
$$f(1) = 1$$
$$f(2n + 1) = f(2n) +1$$
$$f(2n) = 3f(n)$$
Determinar el conjunto de valores que toma $f$

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$, es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de $A$ y $B$ intersecan a $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $O$ el incentro del triángulo $ABC$. Probar que $MP\cdot OA = BC\cdot OQ$

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:
$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b´c}+\frac{c-a}{ca}|<\frac{1}{16}$$

Sean $x, y, z$ tres números reales tales que $0 < x < y < z < \pi/2$. Demostrar la desigualdad:
$$\pi/2 + 2\sin x\cos y + 2\sin y \cos z\gt \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z$$

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
x + y - z &=& -1\\
x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\
-x^3 + y^3 + z^3 &=& -1
\end{eqnarray*}

Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

Considere las expresiones de la forma $x + yt + zt^2$, con $x, y, z$ números racionales, y $t^3=2$. Demuestre que si $x + yt +zt^2\neq 0$, entonces existen $u, v, w$ racionales tales que $(x + yt + z^2)(u + vt + wt^2)= 1$

Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.