Desigualdad trigonométrica

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Sean x,y,z tres números reales tales que 0<x<y<z<π/2. Demostrar la desigualdad:
π/2+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z

 




Imagen de Weldersay

 Hola amigos he intentado de

 Hola amigos he intentado de muchas maneras este problema pero no he podido terminar con el. Aquí muestro uno de mis intentos.
 
Conocemos sen2x=2senxcosx y como x<y<z entonces senxsenysenz y
coszcosycosx
 
entonces por la desigualdad del Reordenamiento se tendria senxcosx+senycosy+senzcoszsenxcosy+senycosz+senzcosx
 
entonces sen2x+sen2y+sen2z2senxcosy+2senycosz+2senzcosx
 
por lo que bastaría probar que,  2senxcosy+2senycosz+2senzcosx<2senxcosy+2senycosz+Π2
 
lo que es equivalente a 2senzcosx<Π2 Llego hasta ahi.
 
El problema de esto último es que evaluando para ciertos valores no es cierto por ejemplo para x=20,z=80 alguien podria decirme donde esta mi error. Quizá,en que  x<y<z  es estricto?
Alguna sugerencia por donde atacar el problema.
 
Imagen de jesus

Debo admitir que al principio

Debo admitir que al principio no tenía idea de cómo hacer este problema, lo primero que pensé fué Jensen (Desigualdad de Jensen) pero no me salió nada interesante, sobre todo me quedaba la duda ... ¿cómo voy a sacar el π/2 ?

Así que vine con la idea de áreas. Esto es, tratar de acomodar las expresiones en senos y cosenos del lado derecho de la desigualdad. Después reducir la expresión derecha y posteriormente asociar a dicha expresión con el área de una figura plana. Si lograse acomodar la figura dentro de medio círculo de radio uno ya tendría la desigualdad; pues el área de medio círculo es π/2

Y sí pude, te mando la figura resultante.

Saludos

Imagen de Weldersay

Hola Jesús, Que padre esa

Hola Jesús,

Que padre esa idea de relacionarlo con el área de una figura conocida, ya con eso salia el problema, creo que a mí, no se me ubiera ocurrido ir por ahi.

Saludos.