Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
x+y−z=−1x2−y2+z2=1−x3+y3+z3=−1
Sistema no lineal de ecuaciones
»
- Inicie sesión o regístrese para enviar comentarios
De la tercera ecuación
De la tercera ecuación tenemos (z−x)(z2+xz+x2)=−(1+y)(y2−y+1) pero notemos que de la primera ecuación tenemos que (z−x)=1+y entonces tendremos que (1+y)(z2+xz+x2)=−(1+y)(y2−y+1) lo que deriva en
(1+y)(z2+x2+y2+xz−y+1)=0 de donde tenemos 1+y=0 ó (z2+x2+y2+xz−y+1)=0 .
Ahora veremos que el caso (z2+x2+y2+xz−y+1)=0 no es posible,
para esto notemos que de (z−x)2=(1+y)2
tenemos x2+z2+2xz=y2+2y+1 lo que es igual a x2+z2−y2−2y−1=2xz
pero de la segunda ecuación tenemos que x2+z2−y2=1 entonces nos queda que −y=xz
Por otro lado tenemos que z2+x2=1+y2 entonces tenemos que (z2+x2+y2+xz−y+1)=0 es igual a (2y2−2y+2)=0 luego,
factorizando el 2 queda (y2−y+1)=0 pero es fácil ver que y2−y+1 es mayor que cero, con lo que solo nos queda ver el caso cuando 1+y=0 entonces reemplazando y=−1 en la primera ecuacion tenemos que x=z y viendo con la tercera ecuación tenemos que x=z=+−1
entonces tenemos las soluciones (−1,−1,−1),(1,−1,1)
Excelente manipulación
Excelente manipulación algebraica. Sobre todo, te felicito pues es común que los estudiantes sin pudor alguno cancelen 1+y de la identidad (1+y)(z2+xz+x2)=−(1+y)(y2−y+1). Sin embargo, tu observaste que es era un posibilidad y que la otra era la más; cuando 1+y=0.