Avanzado

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
$$\begin{eqnarray*} x + y - z &=& -1\\ x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\ -x^3 + y^3 + z^3 &=& -1 \end{eqnarray*}$$

Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

Considere las expresiones de la forma $x + yt + zt^2$, con $x, y, z$ números racionales, y $t^3=2$. Demuestre que si $x + yt +zt^2\neq 0$, entonces existen $u, v, w$ racionales tales que $(x + yt + z^2)(u + vt + wt^2)= 1$

Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.

Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto
dado P, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.

Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que

• $q\geq b+d$
• Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$

 Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.

 Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$

 Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$ , entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

 En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.