Una función recursiva

Sea $f$ una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

• (I) Si $n = 2^j -1$, para $n = 0, 1, 2,\ldots$, entonces $f(n)=0$
• (II) Si $n\neq 2^j-1, para n = 0, 1, 2,\ldots, entonces$f(n+1) = f(n) -1$.

a) Demostrar que para todo entero $n$, mayor o igual que cero, existe un entero $k$, mayor que cero, tal que $f(n)+n= 2^k - 1$
b) Calcular $f (2^{1990})$