Distancias entre puntos de una cuadrícula

Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura

De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:

• a) Cuántas figuras de 4 puntos existen con las condiciones del enunciado.
• b) Cuántas de ellas son geométricamente distintas, es decir, no deducibles unas de otras por transformaciones de igualdad.
• c) Si cada punto se designa por un par de enteros $(X_i, Y_i)$, razonar que la suma $|Xi - Xj| + | Yi - Yj|$ extendida a los seis pares $AB, AC, AD, BC, BD, CD$ es constante.