OME 1993 Madrid

Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura.

Para comenzar el juego aparece una bola en el punto $S$. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras adyacentes con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:

• a) La bola vuelve a $S$ y entonces el jugador pierde.
• b) La bola llega a $G$ y entonces el jugador gana.

Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.

Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura

De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:

 Demostrar que para todo número primo $p$ distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de $p$ de la forma 1111...1 (escrito sólo con unos).

Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.

Sea dado el triángulo aritmético

0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
 1 3 5 7...................... 3983 3985
  4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.

En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.