Avanzado

Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de $2001\times 2001$. Ellos juegan alternadamente y cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres siguientes sentidos:

($\downarrow$, abajo); ($\rightarrow$, derecha); ($\nwarrow$, diagonal arriba a la izquierda).

Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:

La sucesión de números reales $a_1, a_2,\ldots$ se define como sigue:
$a_1=50$ y $a_{n+1}=a_n-1/a_n$ para cada entero $n > 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k\leq 2002$, tal que $a_k < 0$.

En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle{EMD} = \angle{DMF}$.

Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que el ángulo APC es de 120 grados. Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.

Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor o igual que 1/2.

En un tablero de $2000 \times 2001$ cuadros de coordenadas enteras $(x,y)$, $0\leq x \leq 1999$ y $0 \leq y\leq 2000$, una nave se mueve de la siguiente manera:

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1 < a_2<...<a_n$ de $n > 3$ números reales.

Nota: Tres términos $a_i, a_j, a_k$ de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si $a_i < a_j <a_k$ y $a_j - a_i = a_k - a_j$.

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1, S_2, \ldots, S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos.  Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1\leq i < j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $X, Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.

Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.