Configuración con semicircunferencia

No entendi muy bien lo de los semi planos, pero ¿Es una cuadrilatero ciclico con AB diametro y   AD una de sus diagonales? bueno si es asi,

Sean $X$ e $Y$ los pies de perpendicularidad bajada desde $A$ y $B$  hacia $CD$ respectivamente. Notese las siguientes semejanzas de triangulos: $$1) XCA \equiv DBA ,   2) YDB\equiv CAB$$ de alli a que 

$1) \frac{XC}{DB}=\frac{CA}{BA}$ y tambien de $2) \frac{YD}{DB}=\frac{CA}{BA} \longrightarrow  (3) YD=XC$. Ahora:

La mediatriz de $CP$ con $W$ punto medio intersecta a $AD$ en $H$.          La mediatriz de $PD$ con $Z$ punto medio intersecta a $CB$ en $J$. Por el resultado en (3)  y aplicando tales se llega a que $(4) \frac{DH}{AH}=\frac{CJ}{JB}$.

Ahora tengamos en cuenta los siguientes puntos donde $\cap$ denota interseccion:

$WH \cap MP = H'$ y $ZJ \cap PN = J'$. Por teorema de linea media  y el resultado en (4) se tendra que $(5) \frac{PH'}{H'M} = \frac{PJ'}{J'N}$.Sea $R$ el centro de la circunferencia. Los siguientes hechos son bastante conocidos:

• $O_A$ esta sobre $MR$;  $O_B$ esta sobre $RN$
• $W , H' ,O_A$ son colineales puesto que $WH'$ es mediatriz.
• $Z ,J', O_B$ tambien estan alineados.
• $H'O_A$ y $RP$ son paralelas. $\longrightarrow \frac{PH'}{H'M}=\frac{RO_A}{O_AM}$
• ​$J'O_B$ es paralela a $RP \longrightarrow \frac{PJ'}{J'N}=\frac{RO_B}{O_BN}.$

De estos dos ultimos puntos y del resultado en (5) se obtiene que $\frac{RO_A}{O_AM}=\frac{RO_B}{O_BN}$. Y el reciproco de tales es suficiente para decir que $O_BO_A$ y $MN$ son paralelas.

Esta solucion, ocupo denotar muchos nuevos puntos asi que cualquier duda, preguntenme pues tal vez alla algunos errores de dedo.

Saludos 

Germán.

Ah claro, Jesus estaba intentando ver ¿por que pasaba eso? pero rapidamente demostre que es mentira (lo que echa abajo mi demostracion), suponemos que $CH'$ intersecta a $AD$ en $T$ esto si es mas obvio $\frac{MH'}{H'P} = \frac{AT}{TD}$ lo que supondria que $\frac{AH}{HD}={AT}{TD}$ pero solo existe un punto que divide a un segmento en una razon dada. Por lo que es mentira ese hecho, Jesus. Vere si se puede componer.

Saludos.

iPero si se compone solito!

Solo se necesita ver la igualdad $CH'=H'P$ pues $WH'$ es mediatriz. De alli:

$\frac{AT}{TC}= \frac{MH'}{CH'} = \frac{MH'}{H'P} = \frac{AT}{TD}$ por lo que $TC=TD$ de alli sea $S$ la interseccion de $DJ'$ con $BC$ de la misma manera se puede demostrar que $DS=SC$.

Por lo que hay que demostrar que $\frac{DT}{TA}=\frac{CS}{SB}$ pero como $T y S$ estan sobre la mediatriz de $CD$ se pueden reusar los mismos argumentos de la primera parte de la demostracion para demostrar eso.

Saludos.