Un elemento de la sucesión es negativo

Me gustó mucho resolverlo, aqui va mi solución: 

Primero demostrare que, si para alguna tercia de enteros positivos $x,y,z$ se cumple que $a_x , y < z$ entonces $a_{x+y} < z - \frac{y}{z}$ , la demostracion de esto lo hare por induccion sobre y:

BI $y=1$ se tiene que $a_{x+1} = a_x - \frac{1}{a_x} < z - \frac{1}{z}$ lo cual es cierto pues $a_x < z$

HI Para todo $k$ menor o igual a $z$ se cumple que $a_{x+k} < z - \frac{k}{z}$

 PI Y lo demostramos para $k+1$ :

$a_{k+1} = a_k - \frac{1}{a_k} < z - \frac{k+1}{z} = (z - \frac{k}{z}) - \frac{1}{z}$ Usando HI y observando que $a_{x+k} < z$ queda demostrado. De este hecho es inmediato que $a_{x+z} < z - 1$ (*) 

Ahora bien como $a_2 < 50$ por (*) se tiene que $a_{2+50} < 49$ y usando (*) recursivamente se llega a que $a_{1277} = a_{2+50+49+...+1} < 1-1=0$ y acabamos.