Se dice que un número natural n es "sensato" si existe un entero r, con 1<r<n−1, tal que la representación de n en base r tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4. Demuestre que 1993 no es sensato pero 1994 si lo es.
Hola... aquí desempolvándome
Hola... aquí desempolvándome en resolver problemas de Olimpiada...
Primero todo número par ≥6 es sensato ya que 2n=2(n−1)+2=22n−1 y 2≤n−1≤2n−2. Por lo tanto 1994 es sensato.
Supongamos que 1993 es sensato. Entonces podemos escribir 1993=n∑i=0arn=an∑i=0arn
donde r es la base en la cual 1993 es sensato y a es el dígito repetido.
Como 1993 es primo y r≤1991 la igualdad anterior implica que a=1. entonces debemos tener 1993=(11...1)r=n∑i=0rn de ahi 1992=n∑i=1rn y por lo tanto r divide a 1992=23∗3∗83
Hey Lalo, algo falló, pues no
Hey Lalo, algo falló, pues no salió toda la prueba. ¿Crees que puedas compartirnos lo que faltó?
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