IX OIM 1994
Si le entiendes al enunciado obtienes un punto
Demostrar que todo número natural n≤21000000 puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales x0,x1,…,xk, con k<1100000, x0=1,xk=n tal que para cada i=1,2,…,k, existen r,s con 0≤r<i,0≤s<i, y xi=xr+xs.
Eliges, sumas, y te vas...
Sean n,r dos enteros positivos. Se desea construir r subconjuntos A1,A2,…,Ar de {0,1,…,n−1} cada uno de ellos con exactamente k elementos y tales que, para cada entero x, 0≤x≤n−1, existen x1 en A1, x2 en A2 ,... , xr en Ar (un elemento en cada conjunto) con x=x1+x2⋯+xr. Hallar el menor valor posible de k en función de n y r.
Transformación de acutángulo a equilátero (en el circuncírculo de aquél)
Se dan los puntos A,B,C sobre una circunferencia K de manera que el triángulo ABC sea acutángulo. Sea P un punto interior a K. Se trazan las rectas AP,BP,CP, que cortan de nuevo a la circunferencia en X,Y,Z. Determinar el punto P que hace equilátero al triángulo XYZ.
Tablero lampareado
En cada casilla de un tablero n×n hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara, cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, lograr que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de n, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.
Cuadrilátero inscriptible y circunscriptible
Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus vértices se denotan consecutivamente por A,B,C,D. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en AB, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.
- i) Demostrar que AB=AD+BC.
- ii) Calcular, en función de x=AB,y=CD, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.
Números "sensatos"
Se dice que un número natural n es "sensato" si existe un entero r, con 1<r<n−1, tal que la representación de n en base r tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4. Demuestre que 1993 no es sensato pero 1994 si lo es.
